Ensemble partiellement ordonnéEn mathématiques, un ensemble partiellement ordonné (parfois appelé poset d'après l'anglais partially ordered set) formalise et généralise la notion intuitive d'ordre ou d'arrangement entre les éléments d'un ensemble. Un ensemble partiellement ordonné est un ensemble muni d'une relation d'ordre qui indique que pour certains couples d'éléments, l'un est plus petit que l'autre. Tous les éléments ne sont pas forcément comparables, contrairement au cas d'un ensemble muni d'un ordre total.
Weak orderingIn mathematics, especially order theory, a weak ordering is a mathematical formalization of the intuitive notion of a ranking of a set, some of whose members may be tied with each other. Weak orders are a generalization of totally ordered sets (rankings without ties) and are in turn generalized by (strictly) partially ordered sets and preorders.
Ordre totalEn mathématiques, on appelle relation d'ordre total sur un ensemble E toute relation d'ordre ≤ pour laquelle deux éléments de E sont toujours comparables, c'est-à-dire que On dit alors que E est totalement ordonné par ≤. Une relation binaire ≤ sur un ensemble E est un ordre total si (pour tous éléments x, y et z de E) : x ≤ x (réflexivité) ; si x ≤ y et y ≤ x, alors x = y (antisymétrie) ; si x ≤ y et y ≤ z, alors x ≤ z (transitivité) ; x ≤ y ou y ≤ x (totalité). Les trois premières propriétés sont celles faisant de ≤ une relation d'ordre.
Relation réflexiveEn mathématiques, une relation binaire peut avoir, entre autres propriétés, la réflexivité ou bien l'antiréflexivité (ou irréflexivité). Une relation R sur un ensemble X est dite : réflexive si tout élément de X est R-relié à lui-même :ou encore, si le graphe de R contient la diagonale de X (qui est le graphe de l'égalité) ; antiréflexive (ou irréflexive) si aucun élément de X n'est R-relié à lui-même :ou encore, si son graphe est disjoint de la diagonale de X.
Ordre lexicographiqueEn mathématiques, un ordre lexicographique est un ordre que l'on définit sur les suites finies d'éléments d'un ensemble ordonné (ou, de façon équivalente, les mots construits sur un ensemble ordonné). Sa définition est une généralisation de l'ordre du dictionnaire : l'ensemble ordonné est l'alphabet, les mots sont bien des suites finies de lettres de l'alphabet. La principale propriété de l'ordre lexicographique est de conserver la totalité de l'ordre initial.
Relation antisymétriqueEn mathématiques, une relation (binaire, interne) R sur un ensemble E est dite antisymétrique si elle vérifie : ce qui signifie que l'intersection de son graphe avec celui de sa relation réciproque est incluse dans la diagonale de E, autrement dit : La condition (1) peut aussi s'écrire On remarque l'antisymétrie d'une relation sur son diagramme sagittal par le fait qu'il n'y a pas de double flèche (donc que des sens uniques).
Treillis (ensemble ordonné)En mathématiques, un treillis () est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. C'est un ensemble partiellement ordonné dans lequel chaque paire d'éléments admet une borne supérieure et une borne inférieure. Un treillis peut être vu comme le treillis de Galois d'une relation binaire. Il existe en réalité deux définitions équivalentes du treillis, une concernant la relation d'ordre citée précédemment, l'autre algébrique. Tout ensemble muni d'une relation d'ordre total est un treillis.
Relation (mathématiques)Une relation entre objets mathématiques d'un certain domaine est une propriété qu'ont, ou non, entre eux certains de ces objets ; ainsi la relation d'ordre strict, notée « < », définie sur N l'ensemble des entiers naturels : 1 < 2 signifie que 1 est en relation avec 2 par cette relation, et on sait que 1 n'est pas en relation avec 0 par celle-ci. Une relation est très souvent une relation binaire, définie sur un ensemble comme la relation d'ordre strict sur N, ou entre deux ensembles.
Majorant ou minorantEn mathématiques, soient (E , ≤) un ensemble ordonné et F une partie de E ; un élément x de E est : un majorant de F s'il est supérieur ou égal, par la relation binaire définie au préalable, à tous les éléments de F : ; un minorant de F s'il est inférieur ou égal, par la relation binaire définie au préalable, à tous les éléments de F :. Si F possède un majorant x alors on dit que F est une partie majorée. Si F possède un minorant x alors on dit que F est une partie minorée.
Ensemble bien ordonnéEn mathématiques, un ensemble ordonné (E, ≤) est bien ordonné et la relation ≤ est un bon ordre si la condition suivante est satisfaite : Toute partie non vide de E possède un plus petit élément. Formellement cela donne ∀X⊆E, X≠∅ ⇒ (∃u∈X, ∀v∈X u≤v). Si (E, ≤) est bien ordonné alors ≤ est nécessairement un ordre total, c'est-à-dire que deux éléments quelconques x et y de E sont toujours comparables. En effet, l'ensemble { x, y } possède un plus petit élément, donc on a x ≤ y ou y ≤ x.
Ensemble des parties d'un ensembleEn mathématiques, l'ensemble des parties d'un ensemble, parfois appelé ensemble puissance, est l'ensemble de tous les sous-ensembles d'un ensemble donné (y compris cet ensemble lui-même et l'ensemble vide). Soit un ensemble. L'ensemble des parties de est l'ensemble, généralement noté , dont les éléments sont les sous-ensembles de : Il est également parfois noté , ou (gothique), ou encore (P de Weierstrass). Dans la théorie des ensembles de Zermelo, l'existence, pour tout ensemble , d'un tel ensemble , est postulée par l'axiome de l'ensemble des parties, et son unicité résulte de l'axiome d'extensionnalité.
Propriété de la borne supérieureEn mathématiques, un ensemble ordonné est dit posséder la propriété de la borne supérieure si tous ses sous-ensembles non vides et majorés possèdent une borne supérieure. De même, un ensemble ordonné possède la propriété de la borne inférieure si tous ses sous-ensembles non vides et minorés possèdent une borne inférieure. Il s'avère que ces deux propriétés sont équivalentes. On dit aussi parfois qu'un ensemble possédant la propriété de la borne supérieure est Dedekind complet. Soit un ensemble ordonné (partiellement ou totalement).
Ensemblevignette|Ensemble de polygones dans un diagramme d'Euler En mathématiques, un ensemble désigne intuitivement un rassemblement d’objets distincts (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme une totalité » pour paraphraser Georg Cantor qui est à l'origine de la théorie des ensembles. Dans une approche axiomatique, la théorie des ensembles est une théorie de l'appartenance (un élément d'un ensemble est dit « appartenir » à cet ensemble).
Axiome de l'ensemble des partiesEn mathématiques, l'axiome de l'ensemble des parties est l'un des axiomes de la théorie des ensembles, plus précisément des théories des ensembles de Zermelo et de Zermelo-Fraenkel. L'axiome affirme l'existence pour tout ensemble E, d'un ensemble auquel appartiennent tous les sous-ensembles de E, et seulement ceux-ci. Un tel ensemble est nommé ensemble des parties de E, d'où le nom de l'axiome. Cet axiome s'écrit dans le langage formel de la théorie des ensembles, qui est un langage égalitaire du premier ordre avec la relation d'appartenance comme seul symbole primitif non logique.
Borne supérieure et borne inférieureEn mathématiques, les notions de borne supérieure et borne inférieure d'un ensemble de nombres réels interviennent en analyse, comme cas particulier de la définition générale suivante : la borne supérieure (ou le supremum) d'une partie d'un ensemble (partiellement) ordonné est le plus petit de ses majorants. Une telle borne n'existe pas toujours, mais si elle existe alors elle est unique. Elle n'appartient pas nécessairement à la partie considérée. Dualement, la borne inférieure (ou l'infimum) d'une partie est le plus grand de ses minorants.
Greatest element and least elementIn mathematics, especially in order theory, the greatest element of a subset of a partially ordered set (poset) is an element of that is greater than every other element of . The term least element is defined dually, that is, it is an element of that is smaller than every other element of Let be a preordered set and let An element is said to be if and if it also satisfies: for all By switching the side of the relation that is on in the above definition, the definition of a least element of is obtained.
Couple (mathématiques)En mathématiques, un couple de deux objets est la donnée de ces deux objets dans un ordre déterminé. Le couple des deux objets et est noté . Si et sont distincts, le couple est distinct du couple ; en cela, la notion de couple se distingue de la notion de paire où l'ordre des éléments est indifférent. Pour désigner un couple, les anglophones emploient d'ailleurs ordered pair, c’est-à-dire paire ordonnée. Les objets a et b sont appelés respectivement première composante et deuxième composante du couple (a, b).
Diagramme de HasseEn mathématiques, le diagramme de Hasse, du nom du mathématicien allemand Helmut Hasse, est une représentation visuelle d'un ordre fini. Similaire à la représentation habituelle d’un graphe sur papier, il en facilite la compréhension. Dans un diagramme de Hasse : Les éléments ordonnés sont représentés par des points. La relation entre deux éléments est représentée par un segment entre deux points. Si un élément x est ≤ à un autre élément y, alors le point représentant x est placé plus bas que celui pour y.
Ordre partiel completIl existe plusieurs notions non équivalentes dordre partiel complet (complete partial order ou CPO). La notion de CPO est utilisée pour résoudre les équations aux domaines, notamment quand on cherche une sémantique dénotationnelle pour un langage en informatique. Les ensembles partiellement ordonnés ne se comportent pas tous comme des ensembles de parties ordonnés par l'inclusion ⊆. En particulier, quand on a une suite croissante de sous-ensembles E0 ⊆ E1 ⊆ E2 ⊆ ..., on peut définir l'union infinie E0 ∪ E1 ∪ E2 ∪ .
Algèbre d'ensemblesLe concept intervient dans l'exposition des bases de la théorie de la mesure, sous des noms assez variés dans les sources en français : outre algèbre d'ensembles, et sa variante corps d'ensembles, on trouve aussi algèbre de Boole de parties, ou plus brièvement algèbre de Boole, voire simplement algèbre, et encore anneau booléen unitaire ou clan unitaire. Cette définition évoque celle d'une tribu ; en les rapprochant on constate immédiatement qu'un ensemble de parties d'un ensemble est une tribu si et seulement si c'est une algèbre d'ensembles stable par réunion dénombrable.
