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Les espaces tangents en géométrie algébrique

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Description

Cette séance de cours introduit le concept d'espaces tangents en géométrie algébrique, en se concentrant sur la définition des dérivations et l'espace tangent Zariski. L'instructeur explique comment les dérivations sont déterminées par leurs valeurs sur un ensemble générateur de fonctions régulières, conduisant à un sous-espace de dimension finie. La séance de cours couvre également des exemples, tels que l'espace tangent du CN et l'isomorphisme entre les dérivations et les dérivées directionnelles. En outre, un lemme important de la géométrie algébrique est présenté, établissant un isomorphisme entre l'espace tangent et l'espace dual du quotient idéal maximal par son carré. La séance de cours se termine en soulignant l'importance des espaces tangents Zariski et des conseils sur les sujets à venir sur leur calcul.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Géométrie: Géométrie algébrique

Concepts associés (32)

Espace tangent

L'espace tangent en un point p d'une variété différentielle M est un espace vectoriel qui intuitivement est l'ensemble de tous les vecteurs-vitesse possibles d'un « mobile » se déplaçant (sans pouvoir la quitter) dans la variété M quand il est en p. Une façon commune en physique de décrire l'espace tangent est de dire que les vecteurs qu'il contient représentent les différences entre ce point et des points de la variété infiniment proches du premier.

Espace tangent (géométrie algébrique)

En géométrie algébrique, on peut définir la notion d'espace tangent (de Zariski) sans faire (explicitement) de calcul différentiel. C'est en quelque sorte une première approximation de la structure locale du schéma. Soit A un anneau local d'idéal maximal M. Soit le corps résiduel de A. Pour a ∈ A et m, m ∈ M, on remarque que avec M2 le produit d'idéal de M par lui-même. Ainsi le quotient de A-modules est un -espace vectoriel ; on l'appelle espace cotangent et son dual espace tangent de Zariski de . Notons-le .

Derived algebraic geometry

Derived algebraic geometry is a branch of mathematics that generalizes algebraic geometry to a situation where commutative rings, which provide local charts, are replaced by either differential graded algebras (over ), simplicial commutative rings or -ring spectra from algebraic topology, whose higher homotopy groups account for the non-discreteness (e.g., Tor) of the structure sheaf. Grothendieck's scheme theory allows the structure sheaf to carry nilpotent elements.

Géométrie algébrique

La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques qui, historiquement, s'est d'abord intéressé à des objets géométriques (courbes, surfaces...) composés des points dont les coordonnées vérifiaient des équations ne faisant intervenir que des sommes et des produits (par exemple le cercle unité dans le plan rapporté à un repère orthonormé admet pour équation ). La simplicité de cette définition fait qu'elle embrasse un grand nombre d'objets et qu'elle permet de développer une théorie riche.

Géométrie arithmétique

vignette|Exemples de figures géométriques: un cône et un cylindre. La géométrie arithmétique est une branche de la théorie des nombres, qui utilise des outils de géométrie algébrique pour s'attaquer à des problèmes arithmétiques. Quelques exemples de questions qui peuvent se poser : Si on sait trouver des racines d'une équation polynomiale dans toutes les complétions d'un corps de nombres, peut-on en déduire que cette équation a des racines sur ce corps ? On sait répondre à la question dans certains cas, on sait que la réponse est non dans d'autres cas, mais on pense (c'est une conjecture) connaître l'obstruction et donc savoir reconnaître quand cela fonctionne.

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Explore la recherche de l'équation de la tangente au graphe d'une fonction à un point.

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Variété définie comme la fermeture de VCA

Explore le concept de variété défini comme la fermeture de VCA et ses applications en géométrie algébrique.

Conditions de dérivabilité

Explore les conditions de non-différenciation dans le calcul multivariable et les implications du théorème de différentiabilité.

Variétés avec néf anti-canonique: Albanèse Surjective

Présente une preuve que les variétés projectives lisses avec un diviseur anti-canonique néf ont un morphisme surjectif de l'Albanese.

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Espace tangent

Espace tangent (géométrie algébrique)

Derived algebraic geometry

Géométrie algébrique

Géométrie arithmétique

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