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Séance de cours

Optimisation des fonctions: Maximum et Minimum

Description

Cette séance de cours couvre l'optimisation des fonctions, en se concentrant sur la recherche des valeurs maximales et minimales. Les sujets comprennent la détermination du maximum et du minimum d'une fonction, la comparaison des méthodes et l'analyse des points critiques. La séance de cours traite également du processus d'évaluation des fonctions le long de chemins spécifiques pour trouver des extremums.

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Concepts associés (22)

Extremum

Un extremum (pluriel extrema ou extremums), ou extrémum (pluriel extrémums), est une valeur extrême, soit maximum, soit minimum. Cette notion est particulièrement utilisée en mathématiques, où l'expression maximo-minimum, introduite par Nicolas de Cues, correspond à partir de Fermat et Leibniz aux extrêmes d'une courbe ou d'une fonction, repérés par le fait que les dérivées s'y annulent. Elle est aussi utilisée en physique, où le principe de moindre action est un principe extrémal ainsi que Euler l'a montré.

Fonction trigonométrique

thumb|upright=1.35|Toutes les valeurs des fonctions trigonométriques d'un angle θ peuvent être représentées géométriquement. En mathématiques, les fonctions trigonométriques permettent de relier les longueurs des côtés d'un triangle en fonction de la mesure des angles aux sommets. Plus généralement, ces fonctions sont importantes pour étudier les triangles et les polygones, les cercles (on les appelle alors fonctions circulaires) et modéliser des phénomènes périodiques.

Fonction elliptique de Jacobi

En mathématiques, les fonctions elliptiques de Jacobi sont des fonctions elliptiques d'une grande importance historique. Introduites par Carl Gustav Jakob Jacobi vers 1830, elles ont des applications directes, par exemple dans l'équation du pendule. Elles présentent aussi des analogies avec les fonctions trigonométriques, qui sont mises en valeur par le choix des notations sn et cn, qui rappellent sin et cos. Si les fonctions elliptiques thêta de Weierstrass semblent mieux adaptées aux considérations théoriques, les problèmes physiques pratiques font plus appel aux fonctions de Jacobi.

Fonction thêta

En mathématiques, on appelle fonctions thêta certaines fonctions spéciales d'une ou de plusieurs variables complexes. Elles apparaissent dans plusieurs domaines, comme l'étude des variétés abéliennes, des espaces de modules, et les formes quadratiques. Elles ont aussi des applications à la théorie des solitons. Leurs généralisations en algèbre extérieure apparaissent dans la théorie quantique des champs, plus précisément dans la théorie des cordes et des D-branes.

Théorème de Fermat sur les points stationnaires

En analyse réelle, le théorème de Fermat sur les points stationnaires permet, lors de la recherche d'éventuels extrema locaux d'une fonction dérivable, de limiter l'étude aux zéros de sa dérivée et aux bornes de son ensemble de définition. L'énoncé est le suivant : La réciproque est fausse : par exemple, la fonction , en , a une dérivée nulle mais pas d'extremum local. La condition nécessaire pour un extremum local ne s'applique pas aux bornes de l'intervalle. Par exemple, la fonction admet deux extremums globaux (a fortiori locaux), atteints en 0 et 1.

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Séances de cours associées (38)

Extrema local des fonctions

Discute des extrema locaux des fonctions dans deux variables autour du point (0,0).

Optimisation : Extrema local

Explique comment trouver l'extrémité locale des fonctions en utilisant des dérivés et des points critiques.

Extrema de fonctions dans plusieurs variables

Explore les conditions des extrema locaux des fonctions dans plusieurs variables, y compris les points critiques et la matrice de Hesse.

Max/min: optimisation

Couvre les concepts d'optimisation, en se concentrant sur la recherche de valeurs maximales et minimales.

Minimisation des fonctions

Explore les techniques pour minimiser les fonctions et trouver des points critiques.

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Concepts associés (22)

Extremum

Fonction trigonométrique

Fonction elliptique de Jacobi

Fonction thêta

Théorème de Fermat sur les points stationnaires

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