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Séance de cours

Produit scalaire

Description

Cette séance de cours couvre le concept de produit scalaire, qui est obtenu par le produit symétrique des coordonnées identiques de deux vecteurs exprimés dans un cadre de référence direct. Il explique l'expression mathématique du produit scalaire, sa propriété commutative et l'interprétation géométrique du produit scalaire. La séance de cours traite également de la décomposition des vecteurs, des propriétés du produit scalaire et de la norme des vecteurs. Différents exemples et calculs sont fournis pour illustrer ces concepts.

Dans MOOC

Échauffement pour l'EPFL

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre linéaire

Concepts associés (32)

Analyse vectorielle

L'analyse vectorielle est une branche des mathématiques qui étudie les champs de scalaires et de vecteurs suffisamment réguliers des espaces euclidiens, c'est-à-dire les applications différentiables d'un ouvert d'un espace euclidien à valeurs respectivement dans et dans . Du point de vue du mathématicien, l'analyse vectorielle est donc une branche de la géométrie différentielle. Cette dernière inclut l'analyse tensorielle qui apporte des outils plus puissants et une analyse plus concise entre autres des champs de vecteurs.

Décomposition QR

En algèbre linéaire, la décomposition QR (appelée aussi, factorisation QR ou décomposition QU) d'une matrice A est une décomposition de la forme où Q est une matrice orthogonale (QQ=I), et R une matrice triangulaire supérieure. Ce type de décomposition est souvent utilisé pour le calcul de solutions de systèmes linéaires non carrés, notamment pour déterminer la pseudo-inverse d'une matrice. En effet, les systèmes linéaires AX = Y peuvent alors s'écrire : QRX = Y ou RX = QY.

Multiplication par un scalaire

vignette|320x320px|Exemple de multiplication d'un vecteur par un scalaire En mathématiques, la multiplication par un scalaire est l'une des lois externes de base définissant un espace vectoriel en algèbre linéaire (ou plus généralement, un module en algèbre générale). Si K est un corps commutatif, la définition d'un espace vectoriel E sur K prescrit l'existence d'une loi de composition externe, une application de K × E dans E. L'image d'un couple (λ, v), pouvant être notée λv ou λ∙v, est la multiplication du vecteur v par le scalaire λ.

Espace préhilbertien

En mathématiques, un espace préhilbertien est défini comme un espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire. Cette notion généralise celles d'espace euclidien ou hermitien dans le cas d'une dimension quelconque, tout en conservant certaines bonnes propriétés géométriques des espaces de dimension finie grâce aux propriétés du produit scalaire, mais en perdant un atout de taille : un espace préhilbertien de dimension infinie n'est pas nécessairement complet. On peut cependant le compléter, pour obtenir un espace de Hilbert.

Factorisation de Cholesky

La factorisation de Cholesky, nommée d'après André-Louis Cholesky, consiste, pour une matrice symétrique définie positive , à déterminer une matrice triangulaire inférieure telle que : . La matrice est en quelque sorte une « racine carrée » de . Cette décomposition permet notamment de calculer la matrice inverse , de calculer le déterminant de A (égal au carré du produit des éléments diagonaux de ) ou encore de simuler une loi multinormale. Elle est aussi utilisée en chimie quantique pour accélérer les calculs (voir Décomposition de Cholesky (chimie quantique)).

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Séances de cours associées (35)

Étude de la mécanique: Calcul vectoriel

Couvre les calculs vectoriaux, y compris les produits scalaires et vectoriaux, avec des idées du Dr Sylvain Bréchet.

Calcul vectorielle en 3D

Couvre le concept d'espace vectoriel 3D, produit scalaire, bases, orthogonalité et projections.

Vecteurs : Calculs de coordonnées

Couvre les calculs en coordonnées pour les vecteurs, y compris les bases, le produit scalaire et les déterminants, avec des interprétations géométriques et des exemples.

Calcul vectoriel: dérivés et produits

Couvre les concepts de calcul vectoriel tels que les produits scalaires et vectoriels, le cercle trigonométrique et les dérivés des fonctions composites.

Bases mathématiques: Vecteurs

Couvre les concepts fondamentaux des vecteurs, y compris leurs caractéristiques et leurs méthodes de calcul.

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Décomposition QR

Multiplication par un scalaire

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Factorisation de Cholesky

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