Exponentielle d'une matriceEn mathématiques, et plus particulièrement en analyse, l'exponentielle d'une matrice est une fonction généralisant la fonction exponentielle aux matrices et aux endomorphismes par le calcul fonctionnel. Elle fait en particulier le pont entre un groupe de Lie et son algèbre de Lie. Pour n = 1, on retrouve la définition de l'exponentielle complexe. Sauf indication contraire, X, Y désignent des matrices n × n complexes (à coefficients complexes).
Valeur propre, vecteur propre et espace propreEn mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique s'appellent vecteurs propres, réunis en un espace propre.
Matrice diagonaleEn algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être nuls. Une matrice diagonale est une matrice qui correspond à la représentation d'un endomorphisme diagonalisable dans une base de vecteurs propres. La matrice d'un endomorphisme diagonalisable est semblable à une matrice diagonale. Toute matrice diagonale est symétrique, normale et triangulaire.
Matrice diagonalisableEn mathématiques, une matrice diagonalisable est une matrice carrée semblable à une matrice diagonale. Cette propriété est équivalente à l'existence d'une base de vecteurs propres, ce qui permet de définir de manière analogue un endomorphisme diagonalisable d'un espace vectoriel. Le fait qu'une matrice soit diagonalisable dépend du corps dans lequel sont cherchées les valeurs propres, ce que confirme la caractérisation par le fait que le polynôme minimal soit scindé à racines simples.
Décomposition d'une matrice en éléments propresEn algèbre linéaire, la décomposition d'une matrice en éléments propres est la factorisation de la matrice en une forme canonique où les coefficients matriciels sont obtenus à partir des valeurs propres et des vecteurs propres. Un vecteur non nul v à N lignes est un vecteur propre d'une matrice carrée A à N lignes et N colonnes si et seulement si il existe un scalaire λ tel que : où λ est appelé valeur propre associée à v. Cette dernière équation est appelée « équation aux valeurs propres ».
Matrice compagnonEn algèbre linéaire, la matrice compagnon du polynôme unitaire est la matrice carrée suivante : mais il existe d'autres conventions : la matrice transposée de celle ci-dessus ; une variante de cette transposée : la matrice Le polynôme caractéristique de C(p) est égal à p (ou (–1)p selon la convention choisie pour le polynôme caractéristique) ; en ce sens, la matrice C(p) est la « compagne » du polynôme p. Si le polynôme p possède n racines distinctes λ1, ...
Espace vectorielvignette|Dans un espace vectoriel, on peut additionner deux vecteurs. Par exemple, la somme du vecteur v (en bleu) et w (en rouge) est v + w. On peut aussi multiplier un vecteur, comme le vecteur w que l'on peut multiplier par 2, on obtient alors 2w et la somme devient v + 2w. En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble d'objets, appelés vecteurs, que l'on peut additionner entre eux, et que l'on peut multiplier par un scalaire (pour les étirer ou les rétrécir, les tourner, etc.
Analytic function of a matrixIn mathematics, every analytic function can be used for defining a matrix function that maps square matrices with complex entries to square matrices of the same size. This is used for defining the exponential of a matrix, which is involved in the closed-form solution of systems of linear differential equations. There are several techniques for lifting a real function to a square matrix function such that interesting properties are maintained. All of the following techniques yield the same matrix function, but the domains on which the function is defined may differ.
Logarithme d'une matriceEn mathématiques, et plus particulièrement en analyse, un logarithme d'une matrice est une autre matrice telle que son exponentielle soit égale à la matrice initiale. C'est une généralisation de la notion usuelle de logarithme, considéré comme inverse de la fonction exponentielle, mais le logarithme n'existe pas pour toutes les matrices, et n'est pas unique en général. L'étude du logarithme des matrices conduit au développement de la , car les matrices ayant un logarithme appartiennent à un groupe de Lie, et le logarithme est alors l'élément correspondant de l'algèbre de Lie associée.
Generalized eigenvectorIn linear algebra, a generalized eigenvector of an matrix is a vector which satisfies certain criteria which are more relaxed than those for an (ordinary) eigenvector. Let be an -dimensional vector space and let be the matrix representation of a linear map from to with respect to some ordered basis. There may not always exist a full set of linearly independent eigenvectors of that form a complete basis for . That is, the matrix may not be diagonalizable.
Produit matricielLe produit matriciel désigne la multiplication de matrices, initialement appelé la « composition des tableaux ». Il s'agit de la façon la plus fréquente de multiplier des matrices entre elles. En algèbre linéaire, une matrice A de dimensions m lignes et n colonnes (matrice m×n) représente une application linéaire ƒ d'un espace de dimension n vers un espace de dimension m. Une matrice colonne V de n lignes est une matrice n×1, et représente un vecteur v d'un espace vectoriel de dimension n. Le produit A×V représente ƒ(v).
Defective matrixIn linear algebra, a defective matrix is a square matrix that does not have a complete basis of eigenvectors, and is therefore not diagonalizable. In particular, an n × n matrix is defective if and only if it does not have n linearly independent eigenvectors. A complete basis is formed by augmenting the eigenvectors with generalized eigenvectors, which are necessary for solving defective systems of ordinary differential equations and other problems.
Algorithme de recherche de valeur propreUn problème important en analyse numérique consiste à développer des algorithmes efficaces et stables pour trouver les valeurs propres d'une matrice. Ces algorithmes de recherche de valeurs propres peuvent être étendus pour donner les vecteurs propres associés. Valeur propre, vecteur propre et espace propre Pour une matrice carrée A de taille n × n réelle ou complexe, une valeur propre λ et son vecteur propre généralisé associé v sont un couple vérifiant la relation où v est un vecteur colonne n × 1 non nul, I la matrice identité de taille n × n, k un entier positif.
Matrice de ToeplitzEn algèbre linéaire, une matrice de Toeplitz (d'après Otto Toeplitz) ou matrice à diagonales constantes est une matrice dont les coefficients sur une diagonale descendant de gauche à droite sont les mêmes. Par exemple, la matrice suivante est une matrice de Toeplitz : Toute matrice A à n lignes et n colonnes de la forme est une matrice de Toeplitz. Si l'élément situé à l’intersection des ligne i et colonne j de A est noté Ai,j, alors on a : En général, une équation matricielle correspond à un système de n équations linéaires à résoudre.
Outilthumb|Une boîte à outils en bois des années 1950. Un outil est un objet physique utilisé par un être vivant directement, ou par l'intermédiaire d'une machine, afin d'exercer une action le plus souvent mécanique, ou thermique, sur un élément d'environnement à traiter (matière brute, objet fini ou semi-fini, être vivant, etc). Il améliore l'efficacité des actions entreprises ou donne accès à des actions impossibles autrement. Beaucoup procurent un avantage mécanique en fonctionnant selon le principe d'une machine simple, comme la pince-monseigneur, qui exploite le principe du levier.
Derivative of the exponential mapIn the theory of Lie groups, the exponential map is a map from the Lie algebra g of a Lie group G into G. In case G is a matrix Lie group, the exponential map reduces to the matrix exponential. The exponential map, denoted exp:g → G, is analytic and has as such a derivative d/dtexp(X(t)):Tg → TG, where X(t) is a C1 path in the Lie algebra, and a closely related differential dexp:Tg → TG. The formula for dexp was first proved by Friedrich Schur (1891).
Matrice normaleEn algèbre linéaire, une matrice carrée A à coefficients complexes est une matrice normale si elle commute avec sa matrice adjointe A*, c'est-à-dire si A⋅A* = A*⋅A. Toutes les matrices hermitiennes, ou unitaires sont normales, en particulier, parmi les matrices à coefficients réels, toutes les matrices symétriques, antisymétriques ou orthogonales. Ce théorème — cas particulier du théorème de décomposition de Schur — est connu sous le nom de théorème spectral, et les éléments diagonaux de UAU sont alors les valeurs propres de A.
Matrice symétriquevignette|Matrice 5x5 symétrique. Les coefficients égaux sont représentés par la même couleur. En algèbre linéaire et multilinéaire, une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa propre transposée, c'est-à-dire telle que a = a pour tous i et j compris entre 1 et n, où les a sont les coefficients de la matrice et n est son ordre. Les coefficients d'une matrice symétrique sont symétriques par rapport à la diagonale principale (du coin en haut à gauche jusqu'à celui en bas à droite).
Espace vectoriel topologiqueEn mathématiques, les espaces vectoriels topologiques sont une des structures de base de l'analyse fonctionnelle. Ce sont des espaces munis d'une structure topologique associée à une structure d'espace vectoriel, avec des relations de compatibilité entre les deux structures. Les exemples les plus simples d'espaces vectoriels topologiques sont les espaces vectoriels normés, parmi lesquels figurent les espaces de Banach, en particulier les espaces de Hilbert. Un espace vectoriel topologique (« e.v.t.
Espace vectoriel norméUn espace vectoriel normé (EVN) est un espace vectoriel muni d'une norme. Cette structure mathématique développe des propriétés géométriques de distance compatible avec les opérations de l'algèbre linéaire. Développée notamment par David Hilbert et Stefan Banach, cette notion est fondamentale en analyse et plus particulièrement en analyse fonctionnelle, avec l'utilisation d'espaces de Banach tels que les espaces L. Norme (mathématiques) Soit K un corps commutatif muni d'une valeur absolue, et non discret (par exemple le corps des réels ou des complexes).
