Système de racinesEn mathématiques, un système de racines est une configuration de vecteurs dans un espace euclidien qui vérifie certaines conditions géométriques. Cette notion est très importante dans la théorie des groupes de Lie. Comme les groupes de Lie et les groupes algébriques sont maintenant utilisés dans la plupart des parties des mathématiques, la nature apparemment spéciale des systèmes de racines est en contradiction avec le nombre d'endroits dans lesquels ils sont appliqués.
Groupe (mathématiques)vignette|Les manipulations possibles du Rubik's Cube forment un groupe. En mathématiques, un groupe est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l'ensemble, un élément symétrique. La structure de groupe est commune à de nombreux ensembles de nombres — par exemple les nombres entiers relatifs, munis de la loi d'addition.
Groupe de WeylEn mathématiques, et en particulier dans la théorie des algèbres de Lie, le groupe de Weyl d'un système de racines , nommé ainsi en hommage à Hermann Weyl, est le sous-groupe du groupe d'isométries du système de racines engendré par les réflexions orthogonales par rapport aux hyperplans orthogonaux aux racines. Le système de racines de est constitué des sommets d'un hexagone régulier centré à l'origine. Le groupe complet des symétries de ce système de racines est par conséquent le groupe diédral d'ordre 12.
Formule des caractères de WeylEn théorie des représentations, la formule des caractères de Weyl est une description des caractères des représentations irréductibles des groupes de Lie compacts en fonction de leurs plus haut poids. Elle a été prouvée par Hermann Weyl. Il existe une formule étroitement liée pour le caractère d'une représentation irréductible d'une algèbre de Lie semi-simple. Dans l'approche de Weyl de la théorie des représentations des groupes de Lie compacts connexes, la preuve de la formule des caractères est une étape clé pour prouver que chaque élément entier dominant apparaît effectivement comme le plus haut poids d'une représentation irréductible.
Action de groupe (mathématiques)En mathématiques, une action d'un groupe sur un ensemble est une loi de composition externe du groupe sur l'ensemble, vérifiant des conditions supplémentaires. Plus précisément, c'est la donnée, pour chaque élément du groupe, d'une permutation de l'ensemble, de telle manière que toutes ces bijections se composent de façon compatible avec la loi du groupe. Étant donné un ensemble E et un groupe G, dont la loi est notée multiplicativement et dont l'élément neutre est noté e, une action (ou opération) de G sur E est une application : vérifiant chacune des 2 propriétés suivantes : On dit également que G opère (ou agit) sur l'ensemble E.
Groupe réductifEn mathématiques, un groupe réductif est un groupe algébrique G sur un corps algébriquement clos tel que le radical unipotent de G (c'est-à-dire le sous-groupe des éléments unipotents de ) soit trivial. Tout est réductif, de même que tout tore algébrique et tout groupe général linéaire. Plus généralement, sur un corps k non nécessairement algébriquement clos, un groupe réductif est un groupe algébrique affine lisse G tel que le radical unipotent de G sur la clôture algébrique de k soit trivial.
Théorie des groupesvignette|Le Rubik's cube illustre la notion de groupes de permutations. Voir groupe du Rubik's Cube. La théorie des groupes est en mathématique, plus précisément en algèbre générale, la discipline qui étudie les structures algébriques appelées groupes. Le développement de la théorie des groupes est issu de la théorie des nombres, de la théorie des équations algébriques et de la géométrie. La théorie des groupes est étroitement liée à la théorie des représentations.
Groupe résolubleEn mathématiques, un groupe résoluble est un groupe qui peut être construit à partir de groupes abéliens par une suite finie d'extensions. Théorème d'Abel (algèbre) La théorie des groupes tire son origine de la recherche de solutions générales (ou de leur absence) pour les racines des polynômes de degré 5 ou plus. Le concept de groupe résoluble provient d'une propriété partagée par les groupes d'automorphismes des polynômes dont les racines peuvent être exprimées en utilisant seulement un nombre fini d'opérations élémentaires (racine n-ième, addition, multiplication, ).
Racine dentairevignette|300px|Détail d'une molaire humaine.1. Dent 2. Émail dentaire 3. Dentine 4. Pulpe dentaire 5. 6. 7. Cément 8. Couronne 9. 10. 11. collet 12. Racine dentaire 13. 14. 15. 16. Sulcus gingivae17. Parodonte 18.Gencive 19. 20. 21. 22. Ligament alvéolo-dentaire 23. Os alvéolaire 24. 25. 26. 27. canal alvéolaire La racine d'une dent est la portion de la dent qui se trouve dans l'os alvéolaire, situé dans l'os basal du maxillaire ou de la mandibule. Surmontée de la couronne dentaire, la racine sert de pilier à la dent.
Simple Lie groupIn mathematics, a simple Lie group is a connected non-abelian Lie group G which does not have nontrivial connected normal subgroups. The list of simple Lie groups can be used to read off the list of simple Lie algebras and Riemannian symmetric spaces. Together with the commutative Lie group of the real numbers, , and that of the unit-magnitude complex numbers, U(1) (the unit circle), simple Lie groups give the atomic "blocks" that make up all (finite-dimensional) connected Lie groups via the operation of group extension.
Monstrous moonshineEn mathématiques, monstrous moonshine est un terme anglais conçu par John Horton Conway et Simon P. Norton en 1979, utilisé pour décrire la connexion, alors totalement inattendue, entre le groupe Monstre M et les formes modulaires (en particulier la fonction j). Précisément, Conway et Norton, suivant une observation initiale de John McKay, trouvèrent que le développement de Fourier de (, où désigne le ) pouvait être exprimé en termes de combinaisons linéaires des dimensions des représentations irréductibles de M () où et Conway et Norton formulèrent des conjectures concernant les fonctions obtenues en remplaçant les traces sur l'élément neutre par les traces sur d'autres éléments g de M.
Automorphism groupIn mathematics, the automorphism group of an object X is the group consisting of automorphisms of X under composition of morphisms. For example, if X is a finite-dimensional vector space, then the automorphism group of X is the group of invertible linear transformations from X to itself (the general linear group of X). If instead X is a group, then its automorphism group is the group consisting of all group automorphisms of X. Especially in geometric contexts, an automorphism group is also called a symmetry group.
Groupe diédralEn mathématiques, le groupe diédral d'ordre 2n, pour un nombre naturel non nul n, est un groupe qui s'interprète notamment comme le groupe des isométries du plan conservant un polygone régulier à n côtés. Le groupe est constitué de n éléments correspondant aux rotations et n autres correspondant aux réflexions. Il est noté Dn par certains auteurs et D par d'autres. On utilisera ici la notation D. Le groupe D est le groupe cyclique d'ordre 2, noté C ; le groupe D est le groupe de Klein à quatre éléments.
Groupe abélienEn mathématiques, plus précisément en algèbre, un groupe abélien (du nom de Niels Abel), ou groupe commutatif, est un groupe dont la loi de composition interne est commutative. Vu autrement, un groupe commutatif peut aussi être défini comme un module sur l'anneau commutatif des entiers relatifs ; l'étude des groupes abéliens apparaît alors comme un cas particulier de la théorie des modules. On sait classifier de façon simple et explicite les groupes abéliens de type fini à isomorphisme près, et en particulier décrire les groupes abéliens finis.
Forme sonateEn musique classique, la forme sonate est une forme musicale qui est composée de trois parties : l'exposition, le développement et la réexposition (ou récapitulation). La forme sonate est le plus souvent fondée sur deux thèmes musicaux, utilisés lors de l'exposition et la récapitulation, et souvent combinés ou se répondant lors du développement. Attention à ne pas confondre la forme sonate et la sonate. Généralement, le premier mouvement d'une sonate - mais aussi d'une symphonie, d'un concerto - est de forme sonate.
Forme binaireEn musique classique, la forme binaire est une structure musicale particulière de l'œuvre musicale composée de deux sections — A et B — exécutées deux fois chacune, soit : AABB. Sur une partition, la forme binaire est le plus souvent notée au moyen de barres de reprise. La section A s'achève habituellement dans une tonalité voisine — très souvent, la tonalité de la dominante. La section B au contraire, commence par cette tonalité voisine, et, après un nombre variable de modulations, s'achève sur la tonalité de départ.
Groupes interne et externe (sociologie)vignette|306x306px| Les personnes dans ce stade forment un groupe interne de fans de football, leur groupe externe étant composé de ceux qui ne sont pas fans de ce sport. Cependant, les supporteurs d'une équipe forment également leur propre groupe interne où les supporteurs de l'équipe adverse forment le groupe externe. En sociologie et en psychologie sociale, un groupe interne (ou in-group en anglais, ou endogroupe) est un groupe social auquel une personne s'identifie psychologiquement comme étant membre.
Forme musicaleLe terme forme désigne, dans le domaine musical, la structure d'une œuvre musicale. Le travail d'analyse des œuvres musicales a notamment pour tâche de comprendre la forme des œuvres, qui peut être très simple (forme strophique, forme couplet-refrain) ou très complexe. Évidemment, le terme structure doit se comprendre à plusieurs niveaux, c'est-à-dire qu'une œuvre musicale pourra avoir une forme générale en un ou plusieurs mouvements, dans l'un des mouvements il y aura une forme en plusieurs sections, et dans chaque section il y aura des phrases distinctes.
Racine carréeEn mathématiques élémentaires, la racine carrée d'un nombre réel positif x est l'unique réel positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne x, c'est-à-dire le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x. Dans cette expression, x est appelé le radicande et le signe est appelé le radical. La fonction qui, à tout réel positif, associe sa racine carrée s'appelle la fonction racine carrée. En algèbre et analyse, dans un anneau ou un corps A, on appelle racine carrée de a, tout élément de A dont le carré vaut a.
Racine d'un nombreEn mathématiques, une racine n-ième d'un nombre a est un nombre b tel que b = a, où n est un entier naturel non nul. Selon que l'on travaille dans l'ensemble des réels positifs, l'ensemble des réels ou l'ensemble des complexes, le nombre de racines n-ièmes d'un nombre peut être 0, 1, 2 ou n. Pour un nombre réel a positif, il existe un unique réel b positif tel que b = a. Ce réel est appelé la racine n-ième de a (ou racine n-ième principale de a) et se note avec le symbole radical () ou a.
