Racine d'un nombre

En mathématiques, une racine n-ième d'un nombre a est un nombre b tel que b = a, où n est un entier naturel non nul. Selon que l'on travaille dans l'ensemble des réels positifs, l'ensemble des réels ou l'ensemble des complexes, le nombre de racines n-ièmes d'un nombre peut être 0, 1, 2 ou n. Pour un nombre réel a positif, il existe un unique réel b positif tel que b = a. Ce réel est appelé la racine n-ième de a (ou racine n-ième principale de a) et se note avec le symbole radical () ou a. La racine la plus connue est la racine carrée d'un réel. Cette définition se généralise pour a négatif et b négatif à condition que n soit impair. Le terme de racine d'un nombre ne doit pas être confondu avec celui de racine d'un polynôme qui désigne la (ou les) valeur(s) où le polynôme s'annule. Racine carrée Pour tout réel r strictement positif, l'équation x = r admet deux solutions réelles opposées, et lorsque r = 0, l'équation x = 0 admet comme seule solution 0. La racine carrée d'un réel positif r est par définition l'unique solution réelle positive de l'équation x = r d'inconnue x. Elle est notée . Exemples La racine carrée de deux est = . Celle de trois est = . Racine cubique La racine cubique d'un réel r quelconque est l'unique racine réelle de l'équation d'inconnue x. Elle est notée . Exemple : On a . En effet est le seul nombre réel dont la puissance troisième est égale à . Pour tout entier naturel non nul , l'application est une bijection de sur et donc pour tout réel positif, l'équation admet une unique solution dans . La racine énième (ou racine n-ième) d'un réel r positif (r ≥ 0, n > 0) est l'unique solution réelle positive de l'équation d'inconnue x. Elle est notée . Remarquons que la racine n-ième de est aussi l'unique racine positive du polynôme . Lorsque n est pair, l'équation d'inconnue x possède deux solutions qui sont et . Lorsque n est impair, l'équation d'inconnue x ne possède qu'une seule solution . Le traitement des racines de nombres négatifs n'est pas uniforme.