Séance de cours

Martingales et Brownian Motion

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Dans cours

MATH-330: Martingales and Brownian motion

Introduction to the theory of discrete-time martingales (optional stopping and convergence theorems) and its applications (gambler's ruin, branching processes, Pólya urns...). Introduction to Brownian motion. ...

Description

Cette séance de cours couvre les concepts de martingales et de mouvement brownien, en discutant de leurs propriétés et de leurs applications. L'instructeur commence par introduire la définition d'une sous-marine et sa relation avec les fonctions de croissance. La séance de cours se penche ensuite sur la surveillance des descentes et des théorèmes de convergence, fournissant des exemples pour illustrer les concepts. La présentation se termine par une explication détaillée de la variance et de son importance dans divers scénarios.

Source officielle

Concepts associés (13)

Doob's martingale convergence theorems

In mathematics specifically, in the theory of stochastic processes Doob's martingale convergence theorems are a collection of results on the limits of supermartingales, named after the American mathematician Joseph L. Doob. Informally, the martingale convergence theorem typically refers to the result that any supermartingale satisfying a certain boundedness condition must converge.

Martingale (calcul stochastique)

Une martingale est une séquence de variables aléatoires (autrement dit un processus stochastique), telles que l'espérance mathématique à l'instant , conditionnellement à l'information disponible à un moment préalable , notée , vaut (avec ). En particulier, dans un processus discret (t entier), . Une martingale peut modéliser les gains / pertes accumulés par un joueur au cours de répétitions indépendantes d'un jeu de hasard à espérance nulle (même si le joueur s'autorise à modifier sa mise en fonction des gains passés), d'où l'emprunt du terme martingale au monde du jeu.

Variance (mathématiques)

vignette|Exemple d'échantillons pour deux populations ayant la même moyenne mais des variances différentes. La population en rouge a une moyenne de 100 et une variance de 100 (écart-type = SD = standard deviation = 10). La population en bleu a une moyenne de 100 et une variance de (écart-type = SD = 50). En statistique et en théorie des probabilités, la variance est une mesure de la dispersion des valeurs d'un échantillon ou d'une variable aléatoire.

Geometric Brownian motion

A geometric Brownian motion (GBM) (also known as exponential Brownian motion) is a continuous-time stochastic process in which the logarithm of the randomly varying quantity follows a Brownian motion (also called a Wiener process) with drift. It is an important example of stochastic processes satisfying a stochastic differential equation (SDE); in particular, it is used in mathematical finance to model stock prices in the Black–Scholes model.

Semimartingale

In probability theory, a real valued stochastic process X is called a semimartingale if it can be decomposed as the sum of a local martingale and a càdlàg adapted finite-variation process. Semimartingales are "good integrators", forming the largest class of processes with respect to which the Itô integral and the Stratonovich integral can be defined. The class of semimartingales is quite large (including, for example, all continuously differentiable processes, Brownian motion and Poisson processes).

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Séances de cours associées (56)

La Martingale de Doob

Couvre le concept de martingale de Doob et ses propriétés, y compris l'intégrabilité et le théorème de convergence.

Martingale Convergence

Explore la convergence martingale, en discutant des conditions de convergence et de variance des martingales.

Martingale Théorème de la convergence

Explique le théorème de convergence martingale et ses applications dans la théorie des probabilités.

Martingales et Brownian Motion

Discute de la convergence, des martingales, du mouvement brownien, des lois communes, des procédures de test et des temps d'arrêt.

Théorème de Girsanov: Simulation numérique des SDE

Couvre le Théorème de Girsanov, mesures absolument continues, et simulation numérique des équations différentielles stochastiques (EDD) avec applications en finance.

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