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Séance de cours

Points extrêmes et intervalles compacts

Dans cours

MATH-106(f): Analyse II

Étudier les concepts fondamentaux d'analyse et le calcul différentiel et intégral des fonctions réelles de plusieurs variables. ...

Description

Cette séance de cours couvre le concept de points extrêmes et d'intervalles compacts en analyse, en se concentrant sur la détermination des valeurs maximales et minimales des fonctions. L'instructeur explique les conditions pour qu'un ensemble soit compact et les propriétés des points extrêmes. La séance de cours se penche également sur l'étude des fonctions avec des exemples et l'application des contraintes dans les problèmes d'optimisation.

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Enseignant·e·s (3)

Adélie Eliane Garin

Boris Buffoni

David Valentin Strütt

Source officielle

Concepts associés (32)

Extremum

Un extremum (pluriel extrema ou extremums), ou extrémum (pluriel extrémums), est une valeur extrême, soit maximum, soit minimum. Cette notion est particulièrement utilisée en mathématiques, où l'expression maximo-minimum, introduite par Nicolas de Cues, correspond à partir de Fermat et Leibniz aux extrêmes d'une courbe ou d'une fonction, repérés par le fait que les dérivées s'y annulent. Elle est aussi utilisée en physique, où le principe de moindre action est un principe extrémal ainsi que Euler l'a montré.

Compacité (mathématiques)

En topologie, on dit d'un espace qu'il est compact s'il est séparé et qu'il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue. La condition de séparation est parfois omise et certains résultats demeurent vrais, comme le théorème des bornes généralisé ou le théorème de Tychonov. La compacité permet de faire passer certaines propriétés du local au global, c'est-à-dire qu'une propriété vraie au voisinage de chaque point devient valable de façon uniforme sur tout le compact.

Espace localement compact

En topologie, un espace localement compact est un espace séparé qui admet des voisinages compacts pour tous ses points. Un tel espace n'est pas nécessairement compact lui-même mais on peut y généraliser (au moins partiellement) beaucoup de résultats sur les espaces compacts. Ce sont aussi les espaces qu'on peut « rendre » compacts avec un point grâce à la compactification d'Alexandrov. La compacité est une source très fertile de résultats en topologie mais elle reste une propriété très contraignante.

Espace dénombrablement compact

En mathématiques, un espace dénombrablement compact est un espace topologique dont tout recouvrement par une famille dénombrable d'ouverts possède un sous-recouvrement fini. La notion de compacité dénombrable entretient des rapports étroits avec celles de quasi-compacité et compacité et celle de compacité séquentielle. Pour un espace métrisable, ces quatre notions sont équivalentes. Soit X un espace topologique (non supposé séparé).

Compacité séquentielle

En mathématiques, un espace séquentiellement compact est un espace topologique dans lequel toute suite possède au moins une sous-suite convergente. La notion de compacité séquentielle entretient des rapports étroits avec celles de quasi-compacité et compacité et celle de compacité dénombrable. Pour un espace métrique (notamment pour un espace vectoriel normé), ces quatre notions sont équivalentes. Intuitivement, un ensemble compact est « petit » et « fermé », au sens où l'on ne peut « s'en échapper ».

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Séances de cours associées (52)

Extrema local des fonctions

Discute des extrema locaux des fonctions dans deux variables autour du point (0,0).

Limites des fonctions multivariables : techniques et théorèmes

Discute des limites des fonctions multivariables, en se concentrant sur les définitions, les exemples et les techniques pour calculer efficacement les limites.

Problèmes d'optimisation

Couvre les problèmes d'optimisation, en se concentrant sur la recherche de l'extrémité des fonctions soumises à des contraintes.

Problèmes d'optimisation

Couvre les problèmes d'optimisation, en se concentrant sur la recherche de l'extrémité des fonctions soumises à des contraintes.

Construction de mesures : séparation et séparation

Couvre la construction des mesures en RN, en mettant l'accent sur la séparation et la partition des ensembles compacts.

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Concepts associés (32)

Extremum

Compacité (mathématiques)

Espace localement compact

Espace dénombrablement compact

Compacité séquentielle

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