Séance de cours

Taylor Polynômes : Terme de correction

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Description

Cette séance de cours s'inscrit dans le concept du terme de correction dans les polynômes de Taylor. En commençant par la convergence des polynômes Taylor pour le logarithme naturel, l'instructeur explore comment augmenter le degré de polynôme autour d'un point améliore l'approximation. La séance de cours introduit ensuite le terme de correction, qui quantifie l'erreur entre la fonction et son polynôme Taylor. À travers des théorèmes et des démonstrations, l'instructeur illustre comment calculer et interpréter le terme de correction. Des exemples avec des fonctions cosinus et exponentielles mettent en évidence le raffinement des approximations avec des degrés polynômes plus élevés, suggérant la convergence à la valeur exacte de la fonction.

Source officielle

Concepts associés (30)

Polynôme

thumb|Courbe représentative d'une fonction cubique. En mathématiques, un polynôme est une expression formée uniquement de produits et de sommes de constantes et d'indéterminées, habituellement notées X, Y, Z... Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur approchée de toute fonction dérivable (voir l'article Développement limité) et permettent de représenter des formes lisses (voir l'article Courbe de Bézier, décrivant un cas particulier de fonction polynomiale).

Approximation affine

En mathématiques, une approximation affine est une approximation d'une fonction au voisinage d'un point à l'aide d'une fonction affine. Une approximation affine sert principalement à simplifier un problème dont on peut obtenir une solution approchée. Deux façons classiques d'obtenir une approximation affine de fonction passent par l'interpolation ou le développement limité à l’ordre 1.

Sine and cosine

In mathematics, sine and cosine are trigonometric functions of an angle. The sine and cosine of an acute angle are defined in the context of a right triangle: for the specified angle, its sine is the ratio of the length of the side that is opposite that angle to the length of the longest side of the triangle (the hypotenuse), and the cosine is the ratio of the length of the adjacent leg to that of the hypotenuse. For an angle , the sine and cosine functions are denoted simply as and .

Fonction trigonométrique

thumb|upright=1.35|Toutes les valeurs des fonctions trigonométriques d'un angle θ peuvent être représentées géométriquement. En mathématiques, les fonctions trigonométriques permettent de relier les longueurs des côtés d'un triangle en fonction de la mesure des angles aux sommets. Plus généralement, ces fonctions sont importantes pour étudier les triangles et les polygones, les cercles (on les appelle alors fonctions circulaires) et modéliser des phénomènes périodiques.

Théorie de l'approximation

En mathématiques, la théorie de l'approximation concerne la façon dont les fonctions peuvent être approchées par de plus simples fonctions, en donnant une caractérisation quantitative des erreurs introduites par ces approximations. Le problème de l'approximation s'est posé très tôt en géométrie, pour les fonctions trigonométriques : ce sont des fonctions dont on connaît les propriétés (parité, dérivabilité, valeurs en des points particuliers) mais qui ne s'expriment pas à partir d'opérations réalisables à la main (les quatre opérations).

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Couvre le développement limité des ordres 1 et 2, en se concentrant sur la linéarité et l'approximation polynomiale.

Taylor Polynômes : fonctions approximantes avec Taylor Polynômes

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Taylor polynômes: Approximation des fonctions

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