Mediaspace scheduled maintenance: Aug 25, 2026 07:00 - 12:00 AM. During this time, videos will be temporarily unavailable. Check status updates.

Séance de cours

Fonctions implicites: Multiplicateurs Lagrange

Description

Cette séance de cours couvre le concept de fonctions implicites et de multiplicateurs Lagrange. Il commence par introduire le théorème implicite de fonction pour une fonction f: R^2 -> R, où f est continuellement différentiable. Le théorème indique que si f(a, b) = 0 pour un certain point (a, b), alors il existe une fonction y(x) définie dans un voisinage d'un tel que (x, y(x)) satisfait f(x, y(x)) = 0. La démonstration montre l'existence d'intervalles appropriés pour x et y, assurant la monotonicité de la fonction. Enfin, il conclut en prouvant que la fonction ga est strictement monotone au point (a, b) et ga(b) = 0.

Source officielle

Concepts associés (15)

Fonction implicite

En mathématiques, une équation entre différentes variables où une variable n'est pas explicitée en fonction des autres est appelée une équation implicite. Une fonction implicite est une fonction qui se déduit implicitement d'une telle équation. Plus précisément si f est une fonction de E × F dans G, où E, F et G sont des espaces vectoriels normés ou plus simplement des intervalles de R, l'équation f(x,y) = 0 définit une fonction implicite si l'on peut exprimer une des variables en fonction de l'autre pour tous les couples (x,y) vérifiant l'équation.

Théorème des fonctions implicites

En mathématiques, le théorème des fonctions implicites est un résultat de géométrie différentielle. Certaines courbes planes sont définies par une équation cartésienne, c'est-à-dire une équation de la forme f(x, y) = 0, où x et y décrivent les nombres réels. Le théorème indique que si la fonction f est suffisamment régulière au voisinage d'un point de la courbe, il existe une fonction φ de R dans R au moins aussi régulière que f telle que localement, la courbe et le graphe de la fonction φ sont confondus.

Dérivabilité

Une fonction réelle d'une variable réelle est dérivable en un point a quand elle admet une dérivée finie en a, c'est-à-dire, intuitivement, quand elle peut être approchée de manière assez fine par une fonction affine au voisinage de a. Elle est dérivable sur un intervalle réel ouvert non vide si elle est dérivable en chaque point de cet intervalle. Elle est dérivable sur un intervalle réel fermé et borné (c'est-à-dire sur un segment réel) non réduit à un point si elle est dérivable sur l'intérieur de cet intervalle et dérivable à droite en sa borne gauche, et dérivable à gauche en sa borne droite.

Semi-differentiability

In calculus, a branch of mathematics, the notions of one-sided differentiability and semi-differentiability of a real-valued function f of a real variable are weaker than differentiability. Specifically, the function f is said to be right differentiable at a point a if, roughly speaking, a derivative can be defined as the function's argument x moves to a from the right, and left differentiable at a if the derivative can be defined as x moves to a from the left.

Smoothness

In mathematical analysis, the smoothness of a function is a property measured by the number of continuous derivatives it has over some domain, called differentiability class. At the very minimum, a function could be considered smooth if it is differentiable everywhere (hence continuous). At the other end, it might also possess derivatives of all orders in its domain, in which case it is said to be infinitely differentiable and referred to as a C-infinity function (or function).

Afficher plus

Séances de cours associées (35)

Dérivabilité de la fonction réciproque MOOC: Analyse I MOOC: Analyse I (partie 5) : Fonctions continues et fonctions dérivables, la fonction dérivée

Couvre la dérivée de la fonction réciproque et de ses propriétés.

Espaces et normes vectoriels

Couvre les espaces vectoriels, les différentes fonctions, le produit scalaire et les normes en profondeur.

Approximation linéaire et paramétrique dérivée

Couvre l'approximation linéaire, les dérivées paramétriques et les conditions de différentiabilité sur les intervalles.

Différenciation implicite

Explore la différenciation implicite et le Théorème implicite des fonctions pour trouver des fonctions locales uniques.

Fonctions différenciables : définitions et interprétation

Couvre les définitions des fonctions différenciables et dérivées et leur interprétation géométrique.

Afficher plus

Concepts associés (15)

Fonction implicite

Théorème des fonctions implicites

Dérivabilité

Semi-differentiability

Smoothness

Afficher plus