Vecteur euclidienEn mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, un vecteur euclidien est un objet géométrique possédant une direction, un sens et une norme. On l'utilise par exemple en physique et en ingénierie pour modéliser une force. On parle aussi parfois de vecteur géométrique dans le plan euclidien (deux dimensions) et de vecteur spatial dans l'espace à trois dimensions. Vecteur#HistoireVecteur En physique et en ingénierie, on travaille souvent dans l'espace euclidien.
Espace vectorielvignette|Dans un espace vectoriel, on peut additionner deux vecteurs. Par exemple, la somme du vecteur v (en bleu) et w (en rouge) est v + w. On peut aussi multiplier un vecteur, comme le vecteur w que l'on peut multiplier par 2, on obtient alors 2w et la somme devient v + 2w. En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble d'objets, appelés vecteurs, que l'on peut additionner entre eux, et que l'on peut multiplier par un scalaire (pour les étirer ou les rétrécir, les tourner, etc.
Champ de vecteursthumb|Un exemple de champ de vecteurs, de la forme (-y,x). thumb|Autre exemple. thumb|Le flux d'air autour d'un avion est un champ tridimensionnel (champ des vitesses des particules d'air), ici visualisé par les bulles qui matérialisent les lignes de courant. En mathématiques, un champ de vecteurs ou champ vectoriel est une fonction qui associe un vecteur à chaque point d'un espace euclidien ou plus généralement d'une variété différentielle.
Multiplication par un scalairevignette|320x320px|Exemple de multiplication d'un vecteur par un scalaire En mathématiques, la multiplication par un scalaire est l'une des lois externes de base définissant un espace vectoriel en algèbre linéaire (ou plus généralement, un module en algèbre générale). Si K est un corps commutatif, la définition d'un espace vectoriel E sur K prescrit l'existence d'une loi de composition externe, une application de K × E dans E. L'image d'un couple (λ, v), pouvant être notée λv ou λ∙v, est la multiplication du vecteur v par le scalaire λ.
Produit matricielLe produit matriciel désigne la multiplication de matrices, initialement appelé la « composition des tableaux ». Il s'agit de la façon la plus fréquente de multiplier des matrices entre elles. En algèbre linéaire, une matrice A de dimensions m lignes et n colonnes (matrice m×n) représente une application linéaire ƒ d'un espace de dimension n vers un espace de dimension m. Une matrice colonne V de n lignes est une matrice n×1, et représente un vecteur v d'un espace vectoriel de dimension n. Le produit A×V représente ƒ(v).
QuadrivecteurEn physique, un quadrivecteur est un vecteur à quatre dimensions utilisé pour représenter un événement dans l'espace-temps. Dans la théorie de la relativité restreinte, un quadrivecteur est un vecteur de l'espace de Minkowski, où un changement de référentiel se fait par des transformations de Lorentz (par covariance des coordonnées). En relativité restreinte, un quadrivecteur (ou 4-vecteur) est un vecteur appartenant à l'espace vectoriel associé à l'espace affine qu'est l'espace-temps.
Del in cylindrical and spherical coordinatesThis is a list of some vector calculus formulae for working with common curvilinear coordinate systems. This article uses the standard notation ISO 80000-2, which supersedes ISO 31-11, for spherical coordinates (other sources may reverse the definitions of θ and φ): The polar angle is denoted by : it is the angle between the z-axis and the radial vector connecting the origin to the point in question. The azimuthal angle is denoted by : it is the angle between the x-axis and the projection of the radial vector onto the xy-plane.
Analyse vectorielleL'analyse vectorielle est une branche des mathématiques qui étudie les champs de scalaires et de vecteurs suffisamment réguliers des espaces euclidiens, c'est-à-dire les applications différentiables d'un ouvert d'un espace euclidien à valeurs respectivement dans et dans . Du point de vue du mathématicien, l'analyse vectorielle est donc une branche de la géométrie différentielle. Cette dernière inclut l'analyse tensorielle qui apporte des outils plus puissants et une analyse plus concise entre autres des champs de vecteurs.
Vector multiplicationIn mathematics, vector multiplication may refer to one of several operations between two (or more) vectors. It may concern any of the following articles: Dot product – also known as the "scalar product", a binary operation that takes two vectors and returns a scalar quantity. The dot product of two vectors can be defined as the product of the magnitudes of the two vectors and the cosine of the angle between the two vectors. Alternatively, it is defined as the product of the projection of the first vector onto the second vector and the magnitude of the second vector.
Scalaire (mathématiques)En algèbre linéaire, les nombres réels qui multiplient les vecteurs dans un espace vectoriel sont appelés des scalaires. Cette multiplication par un scalaire, qui permet de multiplier un vecteur par un nombre pour produire un vecteur, correspond à la loi externe de l'espace vectoriel. Plus généralement, dans un K-espace vectoriel, les scalaires sont les éléments de K, où K peut être l'ensemble des nombres complexes ou n'importe quel autre corps.
Matrix multiplication algorithmBecause matrix multiplication is such a central operation in many numerical algorithms, much work has been invested in making matrix multiplication algorithms efficient. Applications of matrix multiplication in computational problems are found in many fields including scientific computing and pattern recognition and in seemingly unrelated problems such as counting the paths through a graph. Many different algorithms have been designed for multiplying matrices on different types of hardware, including parallel and distributed systems, where the computational work is spread over multiple processors (perhaps over a network).
Complexité de la multiplication de matricesEn informatique théorique, la complexité de la multiplication de matrices est le nombre d'opérations requises pour l'opération de produit matriciel. Les algorithmes de multiplication de matrices constituent un sujet central dans les algorithmes théoriques et numériques en algèbre linéaire numérique et en optimisation, donc déterminer la complexité en temps du produit est d'une importance pratique. L'application directe de la définition mathématique de la multiplication de matrices donne un algorithme qui nécessite opérations sur le corps de base pour multiplier deux matrices d'ordre .
Matrice diagonaleEn algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être nuls. Une matrice diagonale est une matrice qui correspond à la représentation d'un endomorphisme diagonalisable dans une base de vecteurs propres. La matrice d'un endomorphisme diagonalisable est semblable à une matrice diagonale. Toute matrice diagonale est symétrique, normale et triangulaire.
Row and column vectorsIn linear algebra, a column vector with m elements is an matrix consisting of a single column of m entries, for example, Similarly, a row vector is a matrix for some n, consisting of a single row of n entries, (Throughout this article, boldface is used for both row and column vectors.) The transpose (indicated by T) of any row vector is a column vector, and the transpose of any column vector is a row vector: and The set of all row vectors with n entries in a given field (such as the real numbers) forms an n-dimensional vector space; similarly, the set of all column vectors with m entries forms an m-dimensional vector space.
Vecteur contravariant, covariant et covecteurUn vecteur contravariant est un vecteur, un vecteur covariant est une forme linéaire, encore appelé covecteur, ou encore vecteur dual. Et si on dispose d'un produit scalaire, on peut représenter une forme linéaire (= un vecteur covariant = un covecteur) par un vecteur à l'aide du théorème de représentation de Riesz (cette représentation dépend du choix du produit scalaire).
Système de coordonnées curvilignesUn système de coordonnées curvilignes est une façon d'attribuer à chaque point du plan ou de l'espace un ensemble de nombres. Soit un point de l'espace dont les coordonnées sont notées . Un système de coordonnées quelconques est obtenu en se donnant trois fonctions arbitraires des paramètres , telles que ; ces fonctions sont choisies le plus souvent continues, et même différentiables. Les points correspondant à deux des trois coordonnées constantes décrivent une ligne de coordonnées.
Tangent vectorIn mathematics, a tangent vector is a vector that is tangent to a curve or surface at a given point. Tangent vectors are described in the differential geometry of curves in the context of curves in Rn. More generally, tangent vectors are elements of a tangent space of a differentiable manifold. Tangent vectors can also be described in terms of germs. Formally, a tangent vector at the point is a linear derivation of the algebra defined by the set of germs at .
Trois dimensionsTrois dimensions, tridimensionnel ou 3D sont des expressions qui caractérisent l'espace qui nous entoure, tel que perçu par notre vision, en ce qui concerne la largeur, la hauteur et la profondeur. Le terme « 3D » est également (et improprement) utilisé (surtout en anglais) pour désigner la représentation en (numérique), le relief des images stéréoscopiques ou autres , et même parfois le simple effet stéréophonique, qui ne peut par construction rendre que de la 2D (il ne s'agit donc que du calcul des projections perspectives, des ombrages, des rendus de matières).
Scalaire (physique)En physique, un scalaire est une grandeur dont la valeur ne dépend que du point auquel on l'évalue et est indépendante du système de coordonnées. Une grandeur scalaire s'oppose à une grandeur vectorielle : la grandeur scalaire a uniquement une valeur mais pas de direction ou de sens. Les mathématiques utilisent la notion de scalaire dans le même sens en algèbre linéaire, indépendamment de toute grandeur physique. Les quantités scalaires sont invariables par rapport aux rotations de coordonnées (et aux transformations de Lorentz en théorie de la relativité).
Penrose graphical notationIn mathematics and physics, Penrose graphical notation or tensor diagram notation is a (usually handwritten) visual depiction of multilinear functions or tensors proposed by Roger Penrose in 1971. A diagram in the notation consists of several shapes linked together by lines. The notation widely appears in modern quantum theory, particularly in matrix product states and quantum circuits. In particular, Categorical quantum mechanics which includes ZX-calculus is a fully comprehensive reformulation of quantum theory in terms of Penrose diagrams, and is now widely used in quantum industry.
