Relation d'équivalenceEn mathématiques, une relation d'équivalence permet, dans un ensemble, de mettre en relation des éléments qui sont similaires par une certaine propriété. On pourra ainsi regrouper ces éléments par « paquets » d'éléments qui se ressemblent, définissant ainsi la notion de classe d'équivalence, pour enfin construire de nouveaux ensembles en « assimilant » les éléments similaires à un seul et même élément. On aboutit alors à la notion d'ensemble quotient. vignette|upright=1.5|Sur cet ensemble de huit exemplaires de livres, la relation « .
Foncteur adjointL'adjonction est une situation omniprésente en mathématiques, et formalisée en théorie des catégories par la notion de foncteurs adjoints. Une adjonction entre deux catégories et est une paire de deux foncteurs et vérifiant que, pour tout objet X dans C et Y dans D, il existe une bijection entre les ensembles de morphismes correspondants et la famille de bijections est naturelle en X et Y. On dit que F et G sont des foncteurs adjoints et plus précisément, que F est « adjoint à gauche de G » ou que G est « adjoint à droite de F ».
Tensor-hom adjunctionIn mathematics, the tensor-hom adjunction is that the tensor product and hom-functor form an adjoint pair: This is made more precise below. The order of terms in the phrase "tensor-hom adjunction" reflects their relationship: tensor is the left adjoint, while hom is the right adjoint. Say R and S are (possibly noncommutative) rings, and consider the right module categories (an analogous statement holds for left modules): Fix an -bimodule and define functors and as follows: Then is left adjoint to .
Equivalence classIn mathematics, when the elements of some set have a notion of equivalence (formalized as an equivalence relation), then one may naturally split the set into equivalence classes. These equivalence classes are constructed so that elements and belong to the same equivalence class if, and only if, they are equivalent. Formally, given a set and an equivalence relation on the of an element in denoted by is the set of elements which are equivalent to It may be proven, from the defining properties of equivalence relations, that the equivalence classes form a partition of This partition—the set of equivalence classes—is sometimes called the quotient set or the quotient space of by and is denoted by .
Théorie des catégories supérieuresEn mathématiques, la théorie des catégories supérieures est la partie de la théorie des catégories à un ordre supérieur, ce qui signifie que certaines égalités sont remplacées par des flèches explicites afin de pouvoir étudier explicitement la structure derrière ces égalités. La théorie des catégories supérieures est souvent appliquée en topologie algébrique (en particulier en théorie de l'homotopie ), où l'on étudie les invariants algébriques des espaces, tels que leur ∞-groupoïde fondamental faible.
Limite (théorie des catégories)La notion de limite est une construction catégorique abstraite, qui rend compte d'objets tels que les produits, les produits fibrés et les limites projectives. La construction duale, la colimite, rend compte entre autres des coproduits, sommes amalgamées et limites inductives. Dans certains cas, cette notion coïncide avec la limite au sens de l'analyse. Soit une catégorie. On considère un diagramme dans , traduit par un foncteur . Dans de nombreux cas, on considère une petite catégorie, voire finie, et on parle respectivement de petit diagramme ou de diagramme fini.
Quasi-catégorieEn mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, une quasi-catégorie est une généralisation de la notion de catégorie. L'étude de telles généralisations est connue sous le nom de théorie des catégories supérieures. Les quasi-catégories ont été introduites par et Vogt en 1973. André Joyal a fait beaucoup progresser l'étude des quasi-catégories en montrant qu’il existe un analogue pour les quasi-catégories de la plupart des notions de base de la théorie des catégories et même de certaines notions et théorèmes d’un niveau plus avancé.
Monade (théorie des catégories)Une monade est une construction catégorique qui mime formellement le comportement que les monoïdes ont en algèbre. Introduite par Roger Godement sous le nom de « construction standard », la notion est d'abord diffusée sous le nom de triple avant d'être baptisée monade par Jean Bénabou. Elles permettent notamment de formuler des adjonctions et ont (au travers des comonades) un rôle important en géométrie algébrique, notamment en théorie des topos. Elles permettent également de définir les , dont les .
Équivalence de catégoriesEn mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, une équivalence de catégories est une relation qui établit que deux catégories sont "essentiellement les mêmes". C'est un foncteur entre les deux catégories, qui prend compte formellement du fait que ces catégories relèvent d'une même structure : on dit alors que les catégories sont équivalentes. À la différence de la notion d'isomorphisme de catégories, la notion d'équivalence est moins rigide, plus pratique et plus courante.
Category (mathematics)In mathematics, a category (sometimes called an abstract category to distinguish it from a ) is a collection of "objects" that are linked by "arrows". A category has two basic properties: the ability to compose the arrows associatively and the existence of an identity arrow for each object. A simple example is the , whose objects are sets and whose arrows are functions. is a branch of mathematics that seeks to generalize all of mathematics in terms of categories, independent of what their objects and arrows represent.
Catégorie des espaces topologiquesEn mathématiques, la catégorie des espaces topologiques est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés générales observées dans l'étude des espaces topologiques. Ce n'est pas la seule catégorie qui possède les espaces topologiques comme objet, et ses propriétés générales sont trop faibles ; cela motive la recherche de « meilleures » catégories d'espaces. C'est un exemple de catégorie topologique.
Préfaisceau (théorie des catégories)En théorie des catégories — une branche des mathématiques — la notion de préfaisceau généralise celle du même nom en géométrie algébrique. Les préfaisceaux y sont des objets particulièrement courants et donnent lieu à la notion de topos sur un site. Soient et des catégories, un préfaisceau de à valeurs dans est un foncteur : de la catégorie opposée à dans . De manière strictement équivalente, c'est un foncteur contravariant de dans .
Espace des lacetsEn mathématiques, l'espace des lacets d'un espace topologique pointé est l'ensemble des applications continues d'un segment dans cet espace, tel que l'image des deux extrémités du segment coïncide avec le point de base. Muni de la topologie compacte-ouverte, il s'agit d'un invariant homotopique. La concaténation et le renversement des lacets en font un h-groupe. L'espace des lacets d'un CW-complexe a le type d'homotopie d'un CW-complexe. L’espace des lacets est la cofibre de l’inclusion de l’espace des chemins pointés dans l’espace des chemins.
Kan fibrationIn mathematics, Kan complexes and Kan fibrations are part of the theory of simplicial sets. Kan fibrations are the fibrations of the standard structure on simplicial sets and are therefore of fundamental importance. Kan complexes are the fibrant objects in this model category. The name is in honor of Daniel Kan. For each n ≥ 0, recall that the , , is the representable simplicial set Applying the geometric realization functor to this simplicial set gives a space homeomorphic to the topological standard -simplex: the convex subspace of Rn+1 consisting of all points such that the coordinates are non-negative and sum to 1.
Catégorie additiveLes catégories additives jouent un rôle essentiel en théorie des catégories. De très nombreuses catégories rencontrées en pratique sont en effet additives. Toute catégorie abélienne (telle que la catégorie des groupes abéliens, ou celle des modules à gauche sur un anneau, ou encore celle des faisceaux de modules sur un espace localement annelé) est additive. Néanmoins, dès qu'on munit d'une topologie des objets appartenant à une catégorie abélienne, et qu'on exige des morphismes qu'ils soient des applications continues, on obtient une catégorie qui n'est généralement plus abélienne, mais qui est souvent additive.
Closed monoidal categoryIn mathematics, especially in , a closed monoidal category (or a monoidal closed category) is a that is both a and a in such a way that the structures are compatible. A classic example is the , Set, where the monoidal product of sets and is the usual cartesian product , and the internal Hom is the set of functions from to . A non- example is the , K-Vect, over a field . Here the monoidal product is the usual tensor product of vector spaces, and the internal Hom is the vector space of linear maps from one vector space to another.
MorphismeEn mathématiques, le morphisme est la relative similitude d'objets mathématiques considérés du point de vue de ce qu'ils partagent comme entités ou par leurs relations. En algèbre générale, un morphisme (ou homomorphisme) est une application entre deux structures algébriques de même espèce, c'est-à-dire des ensembles munis de lois de composition interne ou externe (par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels), qui respectent certaines propriétés en passant d'une structure à l'autre.
Catégorie dérivéeLa catégorie dérivée d'une catégorie est une construction, originellement introduite par Jean-Louis Verdier dans sa thèse et reprise dans SGA 41⁄2, qui permet notamment de raffiner et simplifier la théorie des foncteurs dérivés. Elle a amené à plusieurs développements importants, ainsi que des reformulations élégantes par exemple de la théorie des D-modules et des preuves de la qui généralise le vingt-et-unième problème de Hilbert. En particulier, le langage des catégories dérivées permet de simplifier des problèmes exprimés en termes de suites spectrales.
Derived algebraic geometryDerived algebraic geometry is a branch of mathematics that generalizes algebraic geometry to a situation where commutative rings, which provide local charts, are replaced by either differential graded algebras (over ), simplicial commutative rings or -ring spectra from algebraic topology, whose higher homotopy groups account for the non-discreteness (e.g., Tor) of the structure sheaf. Grothendieck's scheme theory allows the structure sheaf to carry nilpotent elements.
Espace de modulesEn mathématiques, un espace de modules est un espace paramétrant les diverses classes d'objets sous une relation d'équivalence ; l'intérêt est de pouvoir alors munir naturellement ces espaces de classes d'une structure supplémentaire. L'archétype de cette situation est la classification des courbes elliptiques par les points d'une courbe modulaire. Autre exemple : en géométrie différentielle, l'espace de modules d'une variété est l'espace des paramètres définissant la géométrie modulo les difféomorphismes locaux et globaux.
