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Exemples : Factorisation polynomiale

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Description

Cette séance de cours présente des exemples de factorisation polynomiale, en commençant par la factorisation de z 2 - 2z + 1 comme (z - 1) 2, suivie de la factorisation de z 2 - 1 comme (z + 1) (z - 1). La décomposition de z 3 - 1 dans C est discutée, montrant les racines comme z 1, z -1/2 - i 3 / 2, et z -1/2 + i 3 / 2. La factorisation de z4 - 1 est démontrée en utilisant l'identité (z2)2 (z2 + 1)(z2 - 1), conduisant aux facteurs (z - 1)(z2 + z + 1). La séance de cours couvre également la division polynomiale, illustrant la division de z 3 - 1 par (z - 1) pour obtenir z 2 + z + 1.

Dans MOOCs (2)

Analyse I (partie 2) : Introduction aux nombres complexes

L'équation z^2=−1 n'admet pas de solution dans R. Nous introduisons le système des nombres complexes C : C'est un corps qui contient R et qui nous permet de résoudre cette équation. Nous introduisons d'abord différentes manières de représenter un nombre complexe. Par la suite nous discutons les solutions des équations de la forme zn=w avec n∈N∗ et w∈C . Nous terminons avec un théorème plus général sur les racines de polynômes: le théorème fondamental de l'algèbre . Ce chapitre est indépendant du rest

Analyse I

Ce cours traite de : Partie 1 : Prélude, notions de base, les nombres réels. Partie 2 : Introduction aux nombres complexes. Partie 3 : Suites de nombres réels I et II. Partie 4 : Limite d'une fonction, fonctions continues. Partie 5 : Fonctions continues et fonctions dérivables, la fonction dérivée. Partie 6 : Etudes des fonctions, développements limités. Partie 7 : Intégrales indéfinies et définies, intégration (chapitres choisis).

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Mathématiques

Algèbre: Polynôme

Concepts associés (27)

Factorisation

En mathématiques, la factorisation consiste à écrire une expression algébrique (notamment une somme), un nombre, une matrice sous la forme d'un produit. Cette transformation peut se faire suivant différentes techniques détaillées ci-dessous. Les enjeux de la factorisation sont très divers : à un niveau élémentaire, le but peut être de ramener la résolution d'une équation à celle d'une équation produit-nul, ou la simplification d'une écriture fractionnaire ; à un niveau intermédiaire, la difficulté algorithmique présumée de la factorisation des nombres entiers en produit de facteurs premiers est à la base de la fiabilité du cryptosystème RSA.

Factorisation des polynômes

En mathématiques, la factorisation d'un polynôme consiste à écrire celui-ci comme produit de polynômes. Les factorisations intéressantes sont celles permettant d'écrire le polynôme initial en produit de plusieurs polynômes non inversibles. Un polynôme non inversible pour lequel aucune factorisation de ce type n'existe s'appelle un polynôme irréductible. La décomposition d'un polynôme en produits de polynômes irréductibles existe, et a une propriété d'unicité (à un facteur inversible près), pour tout polynôme à coefficients réels ou complexes.

Polynôme sans carré

En mathématiques, un polynôme sans carré est un polynôme défini sur un corps (commutatif), ou plus généralement sur un anneau factoriel, qui n'a pour facteur aucun carré d'un facteur non unitaire. Dans le cas des polynômes invariables sur un corps k, cela signifie que est sans carré si et seulement si pour chaque polynôme de degré positif. Dans les applications en physique et en génie, un polynôme sans carré est communément appelé un polynôme sans racines répétées.

Polynôme

thumb|Courbe représentative d'une fonction cubique. En mathématiques, un polynôme est une expression formée uniquement de produits et de sommes de constantes et d'indéterminées, habituellement notées X, Y, Z... Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur approchée de toute fonction dérivable (voir l'article Développement limité) et permettent de représenter des formes lisses (voir l'article Courbe de Bézier, décrivant un cas particulier de fonction polynomiale).

Factorisation aurifeuillienne

En théorie des nombres, une factorisation aurifeuillienne, nommée d'après Léon-François-Antoine Aurifeuille, est un cas particulier de factorisation algébrique d'entiers provenant d'une factorisation (accidentelle) d'un polynôme cyclotomique. Les polynômes cyclotomiques eux-mêmes sont irréductibles (dans ), mais il peut néanmoins arriver qu'on dispose de factorisations systématiques de leurs valeurs sur certains entiers.

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Séances de cours associées (64)

Polynômes minimaux : Unicité et division

Explore l'unicité des polynômes minimaux et l'algorithme de division des polynômes.

Racines et polynômes complexes

Explore les racines complexes, les polynômes et les factorisations, y compris les racines de l'unité et le théorème fondamental de l'algèbre.

Division Polynômes : Théorèmes et applications

Explore les polynômes de division, les théorèmes, les valeurs spectrales et les polynômes minimaux dans les endomorphismes et les espaces vectoriels.

Numéros complexes : Opérations et applications

Explore les propriétés des nombres complexes, les racines et les équations polynômes dans le plan complexe.

Factorisation polynomiale sur un champ : valeurs propres

Explore la factorisation polynomiale sur un champ, en mettant l'accent sur les valeurs propres et les composantes irréductibles.

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Concepts associés (27)

Factorisation

Factorisation des polynômes

Polynôme sans carré

Polynôme

Factorisation aurifeuillienne

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