Séance de cours

Limites et continuité dans les fonctions multivariables

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Description

Cette séance de cours introduit les concepts de limite et de continuité dans le contexte des fonctions de plusieurs variables. Il couvre la définition de la limite pour une fonction de deux variables, des exemples illustrant quand il n'y a pas de limites, et des techniques pour montrer l'existence de limites utilisant des coordonnées polaires. La séance de cours traite également de la continuité des fonctions dans plusieurs variables, y compris les propriétés des fonctions continues et les compositions des fonctions continues. Divers exemples sont fournis pour démontrer l'application de ces concepts.

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Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Topologie: General topology

Concepts associés (32)

Limite (mathématiques élémentaires)

La notion de limite est très intuitive malgré sa formulation abstraite. Pour les mathématiques élémentaires, il convient de distinguer une limite en un point réel fini (pour une fonction numérique) et une limite en ou (pour une fonction numérique ou une suite), ces deux cas apparemment différents pouvant être unifiés à travers la notion topologique de voisinage. Les limites servent (entre autres) à définir les notions fondamentales de continuité et de dérivabilité.

Fonction de plusieurs variables

En mathématiques et plus spécialement en analyse vectorielle, une fonction numérique à plusieurs variables réelles est une fonction dont l'ensemble de départ E est une partie du produit cartésien . L'ensemble d'arrivée F peut être ou . Le second cas peut se ramener au premier cas en considérant qu'il s'agit en réalité de p fonctions de dans appelées fonctions coordonnées. La fonction est donc une relation associant à chaque n-uplet x = (x, x, ...

Limite d'une suite

En mathématiques, de manière intuitive, la limite d'une suite est l'élément dont les termes de la suite se rapprochent quand les indices deviennent très grands. Cette définition intuitive n'est guère exploitable car il faudrait pouvoir définir le sens de « se rapprocher ». Cette notion sous-entend l'existence d'une distance (induite par la valeur absolue dans R, par le module dans C, par la norme dans un espace vectoriel normé) mais on verra que l'on peut même s'en passer pourvu qu'on ait une topologie.

Dérivabilité

Une fonction réelle d'une variable réelle est dérivable en un point a quand elle admet une dérivée finie en a, c'est-à-dire, intuitivement, quand elle peut être approchée de manière assez fine par une fonction affine au voisinage de a. Elle est dérivable sur un intervalle réel ouvert non vide si elle est dérivable en chaque point de cet intervalle. Elle est dérivable sur un intervalle réel fermé et borné (c'est-à-dire sur un segment réel) non réduit à un point si elle est dérivable sur l'intérieur de cet intervalle et dérivable à droite en sa borne gauche, et dérivable à gauche en sa borne droite.

Fonction (mathématiques)

vignette|Diagramme de calcul pour la fonction En mathématiques, une fonction permet de définir un résultat (le plus souvent numérique) pour chaque valeur d’un ensemble appelé domaine. Ce résultat peut être obtenu par une suite de calculs arithmétiques ou par une liste de valeurs, notamment dans le cas de relevé de mesures physiques, ou encore par d’autres procédés comme les résolutions d’équations ou les passages à la limite. Le calcul effectif du résultat ou son approximation repose éventuellement sur l’élaboration de fonction informatique.

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Séances de cours associées (64)

Fonctions réelles: Limite en un point

Explore les fonctions réelles, en se concentrant sur les limites à un point et l'importance de comprendre les limites dans le calcul.

Limites et continuité

Couvre le concept de limites et de continuité dans l'analyse réelle.

Limites de fonction: Définitions et théorèmes

Explore les limites des fonctions, y compris les limites droite et gauche, les opérations algébriques et le théorème des deux gendarmes.

Différenciation et dérivés

Revisite la définition de la différenciation et de l'existence de dérivés pour les fonctions à intervalles ouverts.

Limites des fonctions : Caractérisation et opérations

Explore la caractérisation des limites en utilisant des séquences et des opérations algébriques sur les limites.

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Limite (mathématiques élémentaires)

Fonction de plusieurs variables

Limite d'une suite

Dérivabilité

Fonction (mathématiques)

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