Foncteur adjointL'adjonction est une situation omniprésente en mathématiques, et formalisée en théorie des catégories par la notion de foncteurs adjoints. Une adjonction entre deux catégories et est une paire de deux foncteurs et vérifiant que, pour tout objet X dans C et Y dans D, il existe une bijection entre les ensembles de morphismes correspondants et la famille de bijections est naturelle en X et Y. On dit que F et G sont des foncteurs adjoints et plus précisément, que F est « adjoint à gauche de G » ou que G est « adjoint à droite de F ».
Tensor-hom adjunctionIn mathematics, the tensor-hom adjunction is that the tensor product and hom-functor form an adjoint pair: This is made more precise below. The order of terms in the phrase "tensor-hom adjunction" reflects their relationship: tensor is the left adjoint, while hom is the right adjoint. Say R and S are (possibly noncommutative) rings, and consider the right module categories (an analogous statement holds for left modules): Fix an -bimodule and define functors and as follows: Then is left adjoint to .
Théorie des catégoriesLa théorie des catégories est l'étude des structures mathématiques et de leurs relations. Ce domaine est né du constat de l'abondance de caractéristiques partagées par diverses classes liées à des structures mathématiques. Les catégories sont utilisées dans la plupart des branches mathématiques et dans certains secteurs de l'informatique théorique et en mathématiques de la physique. Elles forment une notion unificatrice.
Équivalence de catégoriesEn mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, une équivalence de catégories est une relation qui établit que deux catégories sont "essentiellement les mêmes". C'est un foncteur entre les deux catégories, qui prend compte formellement du fait que ces catégories relèvent d'une même structure : on dit alors que les catégories sont équivalentes. À la différence de la notion d'isomorphisme de catégories, la notion d'équivalence est moins rigide, plus pratique et plus courante.
Monade (théorie des catégories)Une monade est une construction catégorique qui mime formellement le comportement que les monoïdes ont en algèbre. Introduite par Roger Godement sous le nom de « construction standard », la notion est d'abord diffusée sous le nom de triple avant d'être baptisée monade par Jean Bénabou. Elles permettent notamment de formuler des adjonctions et ont (au travers des comonades) un rôle important en géométrie algébrique, notamment en théorie des topos. Elles permettent également de définir les , dont les .
Category (mathematics)In mathematics, a category (sometimes called an abstract category to distinguish it from a ) is a collection of "objects" that are linked by "arrows". A category has two basic properties: the ability to compose the arrows associatively and the existence of an identity arrow for each object. A simple example is the , whose objects are sets and whose arrows are functions. is a branch of mathematics that seeks to generalize all of mathematics in terms of categories, independent of what their objects and arrows represent.
Section (théorie des catégories)vignette|Ici, g est une section de f, et f est une rétraction de g. Dans le domaine mathématique de la théorie des catégories, si on a un couple de morphismes , tel que (le morphisme identité de Y, souvent réalisé par l'application identité sur Y), on dit que g est une section de f, et que f est une rétraction de g. En d'autres termes, une section est un inverse à droite, et une rétraction est un inverse à gauche (ce sont deux notions duales).
Dual (category theory)In , a branch of mathematics, duality is a correspondence between the properties of a category C and the dual properties of the Cop. Given a statement regarding the category C, by interchanging the source and target of each morphism as well as interchanging the order of composing two morphisms, a corresponding dual statement is obtained regarding the opposite category Cop. Duality, as such, is the assertion that truth is invariant under this operation on statements.
Relation d'équivalenceEn mathématiques, une relation d'équivalence permet, dans un ensemble, de mettre en relation des éléments qui sont similaires par une certaine propriété. On pourra ainsi regrouper ces éléments par « paquets » d'éléments qui se ressemblent, définissant ainsi la notion de classe d'équivalence, pour enfin construire de nouveaux ensembles en « assimilant » les éléments similaires à un seul et même élément. On aboutit alors à la notion d'ensemble quotient. vignette|upright=1.5|Sur cet ensemble de huit exemplaires de livres, la relation « .
Weak equivalence (homotopy theory)In mathematics, a weak equivalence is a notion from homotopy theory that in some sense identifies objects that have the same "shape". This notion is formalized in the axiomatic definition of a . A model category is a with classes of morphisms called weak equivalences, fibrations, and cofibrations, satisfying several axioms. The associated of a model category has the same objects, but the morphisms are changed in order to make the weak equivalences into isomorphisms.
Théorie des catégories supérieuresEn mathématiques, la théorie des catégories supérieures est la partie de la théorie des catégories à un ordre supérieur, ce qui signifie que certaines égalités sont remplacées par des flèches explicites afin de pouvoir étudier explicitement la structure derrière ces égalités. La théorie des catégories supérieures est souvent appliquée en topologie algébrique (en particulier en théorie de l'homotopie ), où l'on étudie les invariants algébriques des espaces, tels que leur ∞-groupoïde fondamental faible.
Pédagogies activesLa pédagogie active a pour objectif de rendre l'élève acteur de ses apprentissages. Si la pédagogie active est traduite dans le monde scientifique par le terme d'Active learning, l'expression dans le monde francophone peut également désigner les méthodes actives portées par des pédagogues comme Célestin Freinet et Maria Montessori.
Catégorie des ensemblesEn mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, la catégorie des ensembles, notée Set ou Ens, est la catégorie dont les objets sont les ensembles, et dont les morphismes sont les applications d'un ensemble dans un autre. Sa définition est motivée par le fait qu'en théorie des ensembles usuelle, il n'existe pas d'« ensemble de tous les ensembles », car l'existence d'un tel objet résulterait en une contradiction logique : le paradoxe de Russell.
Transformation naturelleEn théorie des catégories, une transformation naturelle permet de transformer un foncteur en un autre tout en respectant la structure interne (c'est-à-dire la composition des morphismes) des catégories considérées. On peut ainsi la voir comme un morphisme de foncteurs. Soient et deux catégories, F et G deux foncteurs covariants de dans .
Catégorie de modèlesEn mathématiques, plus précisément en théorie de l'homotopie, une catégorie de modèles est une catégorie dotée de trois classes de morphismes, appelés équivalences faibles, fibrations et cofibrations, satisfaisant à certains axiomes. Ceux-ci sont abstraits du comportement homotopique des espaces topologiques et des complexes de chaînes. La théorie des catégories de modèles est une sous-branche de la théorie des catégories et a été introduite par Daniel Quillen en 1967 pour généraliser l'étude de l'homotopie aux catégories et ainsi avoir de nouveaux outils pour travailler avec l'homotopie dans les espaces topologiques.
Isomorphisme de catégoriesEn théorie des catégories, deux catégories et sont isomorphes s'il existe deux foncteurs F : → et G : → tels que l'un est inverse de l'autre, c'est-à-dire tels que FG = 1D (le foncteur identité de ) et GF = 1C. Cette notion, assez restrictive, peut être élargie en la notion d'équivalence de catégories. Soit la catégorie des espaces topologiques munis d'une topologie d'Alexandroff, et la catégorie des ensembles munis d'un préordre.
Catégorie dérivéeLa catégorie dérivée d'une catégorie est une construction, originellement introduite par Jean-Louis Verdier dans sa thèse et reprise dans SGA 41⁄2, qui permet notamment de raffiner et simplifier la théorie des foncteurs dérivés. Elle a amené à plusieurs développements importants, ainsi que des reformulations élégantes par exemple de la théorie des D-modules et des preuves de la qui généralise le vingt-et-unième problème de Hilbert. En particulier, le langage des catégories dérivées permet de simplifier des problèmes exprimés en termes de suites spectrales.
Regular categoryIn , a regular category is a category with and coequalizers of a pair of morphisms called kernel pairs, satisfying certain exactness conditions. In that way, regular categories recapture many properties of abelian categories, like the existence of images, without requiring additivity. At the same time, regular categories provide a foundation for the study of a fragment of first-order logic, known as regular logic. A category C is called regular if it satisfies the following three properties: C is .
Experiential learningExperiential learning (ExL) is the process of learning through experience, and is more narrowly defined as "learning through reflection on doing". Hands-on learning can be a form of experiential learning, but does not necessarily involve students reflecting on their product. Experiential learning is distinct from rote or didactic learning, in which the learner plays a comparatively passive role. It is related to, but not synonymous with, other forms of active learning such as action learning, adventure learning, free-choice learning, cooperative learning, service-learning, and situated learning.
Béton de cimentthumb|upright=1.0|Un mètre cube de béton (représentant la production mondiale annuelle de béton par habitant). Le béton de ciment, couramment appelé béton, est un mélange de ciment, de granulats, d'eau et d'adjuvants. Histoire du béton de ciment Ciment Le ciment se compose essentiellement de chaux, de silice, d'alumine et d'oxyde de fer combinés au silicate et aluminate de calcium. Les différents ciments résultent du mélange de clinker, de calcaire, de laitier et de cendres volantes (qui sont des composés à effet pouzzolanique, mais non considérés comme des pouzzolanes).
