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Dérivés numériques: Premier ordre, Formules de différence finie en arrière

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Description

Cette séance de cours se concentre sur la spécification de l'erreur entre f'(x0) et son approximation à l'aide d'une formule de différence finie arrière, présentant le théorème 2.1 pour toute fonction f et x0 dans R. L'erreur est limitée par c fois h, où c peut dépendre de f et x0 mais pas de h. Le résultat implique que l'erreur est divisée par deux quand h est divisé par deux, ou divisée par dix quand h est divisé par dix. La démonstration, laissée comme un exercice, est similaire à la précédente, impliquant l'exposition d'une constante c qui dépend de f et x0 mais pas de h, étant la moitié du maximum des valeurs absolues des dérivées secondes entre x0 et x0-h.

Dans MOOC

Analyse Numérique pour Ingénieurs

Ce cours est basé sur le livre "Introduction à l'analyse numérique", J. Rappaz M. Picasso, Ed. PPUR. Des outils de base sont décrits dans les 5 premiers chapitres. Les deux derniers chapitres abordent la question de la résolution numérique d'équations différentielles. Plus précisement, nous allons étudier les chapitres suivants du livre : Chapitre 1 : interpolation, comment approcher une fonction par un polynôme? Chapitre 2 : comment approcher des dérivées par des formules de différences finies? Chapitre 3

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Concepts associés (19)

Dérivée partielle

En mathématiques, la dérivée partielle d'une fonction de plusieurs variables est sa dérivée par rapport à l'une de ses variables, les autres étant gardées constantes. C'est une notion de base de l'analyse en dimension , de la géométrie différentielle et de l'analyse vectorielle. La dérivée partielle de la fonction par rapport à la variable est souvent notée . Si est une fonction de et sont les accroissements infinitésimaux de respectivement, alors l'accroissement infinitésimal correspondant de est : Cette expression est la « différentielle totale » de , chaque terme dans la somme étant une « différentielle partielle » de .

Dérivation numérique

En analyse numérique, les algorithmes de dérivation numérique évaluent la dérivée d'une fonction mathématique ou d'un sous-programme de fonction en utilisant les valeurs de la fonction et peut-être d'autres propriétés connues sur la fonction. droite|255x255px La méthode la plus simple consiste à utiliser des approximations de différences finies. Une simple estimation à deux points consiste à calculer la pente d'une droite sécante proche passant par les points et .

Dérivée seconde

La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée d'une fonction, lorsqu'elle est définie. Elle permet de mesurer l'évolution des taux de variations. Par exemple, la dérivée seconde du déplacement par rapport au temps est la variation de la vitesse (taux de variation du déplacement), soit l'accélération. Si la fonction admet une dérivée seconde, on dit qu'elle est de classe D2 ; si de plus cette dérivée seconde est continue, la fonction est dite de classe C2.

Analyse numérique

L’analyse numérique est une discipline à l'interface des mathématiques et de l'informatique. Elle s’intéresse tant aux fondements qu’à la mise en pratique des méthodes permettant de résoudre, par des calculs purement numériques, des problèmes d’analyse mathématique. Plus formellement, l’analyse numérique est l’étude des algorithmes permettant de résoudre numériquement par discrétisation les problèmes de mathématiques continues (distinguées des mathématiques discrètes).

Différence finie

En mathématiques, et plus précisément en analyse, une différence finie est une expression de la forme f(x + b) − f(x + a) (où f est une fonction numérique) ; la même expression divisée par b − a s'appelle un taux d'accroissement (ou taux de variation), et il est possible, plus généralement, de définir de même des différences divisées. L'approximation des dérivées par des différences finies joue un rôle central dans les méthodes des différences finies utilisées pour la résolution numérique des équations différentielles, tout particulièrement pour les problèmes de conditions aux limites.

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Séances de cours associées (64)

Différenciation numérique: différences centrales et arrière

Explore les différences en arrière et centrales pour la différenciation numérique, en analysant leurs propriétés et l'analyse des erreurs.

Méthode de différence finale : approximation des dérivés et des équations

Introduit la méthode de différence finie pour l'approximation des dérivés et la résolution des équations différentielles dans les applications pratiques.

Dérivés: introduction

Couvre la définition de dérivé, des exemples, le quotient de Newton, et la continuité.

Taylor polynômes: Approximation des fonctions dans plusieurs variables

Couvre les polynômes de Taylor et leur rôle dans l'approximation des fonctions dans de multiples variables.

Grilles de différence de finite

Explique les grilles de différence finie pour calculer les solutions de membranes élastiques à l'aide de l'équation et des méthodes numériques de Laplace.

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