Séance de cours

Formulaire Jordan: Décomposition et propriétés

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Dans cours

MATH-115(b): Advanced linear algebra II

L'objectif du cours est d'introduire les notions de base de l'algèbre linéaire et de démontrer rigoureusement les résultats principaux du sujet. ...

Description

Cette séance de cours couvre la décomposition d'une matrice en blocs jordaniens, les propriétés des matrices jordaniennes et le processus de recherche de la forme jordanienne. Il explique l'unicité de la décomposition du Jourdain et fournit des exemples pour illustrer les concepts.

Enseignant·e

Marc Troyanov

Doctorat en mathématiques à l'Université de Genève (1987) - Postdoc à Paris et Salt-Lake City, puis professeur assistant à l'UQAM (Montréal). Venu en 1993 à l'EPFL comme professeur assistant, nommé MER en 1999 puis professeur titulaire en 2005. Domaine de recherche : géométrie différentielle, analyse sur les variétés et sur les espaces métriques.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre linéaire

Concepts associés (30)

Matrix decomposition

In the mathematical discipline of linear algebra, a matrix decomposition or matrix factorization is a factorization of a matrix into a product of matrices. There are many different matrix decompositions; each finds use among a particular class of problems. In numerical analysis, different decompositions are used to implement efficient matrix algorithms. For instance, when solving a system of linear equations , the matrix A can be decomposed via the LU decomposition.

Réduction de Jordan

La réduction de Jordan est la traduction matricielle de la réduction des endomorphismes introduite par Camille Jordan. Cette réduction est tellement employée, en particulier en analyse pour la résolution d'équations différentielles ou pour déterminer le terme général de certaines suites récurrentes, qu'on la nomme parfois « jordanisation des endomorphismes ». Elle consiste à exprimer la matrice d'un endomorphisme dans une base, dite base de Jordan, où l'expression de l'endomorphisme est réduite.

Décomposition d'une matrice en éléments propres

En algèbre linéaire, la décomposition d'une matrice en éléments propres est la factorisation de la matrice en une forme canonique où les coefficients matriciels sont obtenus à partir des valeurs propres et des vecteurs propres. Un vecteur non nul v à N lignes est un vecteur propre d'une matrice carrée A à N lignes et N colonnes si et seulement si il existe un scalaire λ tel que : où λ est appelé valeur propre associée à v. Cette dernière équation est appelée « équation aux valeurs propres ».

Décomposition polaire

La décomposition polaire est un outil mathématique fondamental pour comprendre les propriétés topologiques des groupes linéaires réels et complexes. Les applications suivantes sont des homéomorphismes, et même des difféomorphismes. En particulier, toute matrice inversible réelle se décompose de façon unique en produit d'une matrice orthogonale et d'une matrice symétrique définie positive. Les applications suivantes sont surjectives mais non injectives : En particulier, toute matrice réelle se décompose en produit d'une matrice orthogonale et d'une unique matrice symétrique positive (mais pas nécessairement de façon unique).

Décomposition en valeurs singulières

En mathématiques, le procédé d'algèbre linéaire de décomposition en valeurs singulières (ou SVD, de l'anglais singular value decomposition) d'une matrice est un outil important de factorisation des matrices rectangulaires réelles ou complexes. Ses applications s'étendent du traitement du signal aux statistiques, en passant par la météorologie. Le théorème spectral énonce qu'une matrice normale peut être diagonalisée par une base orthonormée de vecteurs propres.

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Séances de cours associées (64)

SVD: Décomposition de la valeur singulaire

Couvre le concept de Décomposition de Valeur Singulaire (SVD) pour compresser l'information dans les matrices et les images.

Décomposition en Jordanie

Explore la décomposition unique des matrices en parties diagonalisables et nilpotentes, en mettant en valeur leurs propriétés et leurs applications.

Décomposition de la valeur singulière : Exemple MOOC: Algèbre Linéaire (Partie 3)

Explique le processus étape par étape pour trouver la décomposition de valeur singulière d'une matrice.

Jordanie Forme normale: Théorie et demandes

Explore la forme normale de la Jordanie et ses applications dans l'algèbre linéaire, en se concentrant sur la diagonalisation et les bases cycliques.

Décomposition de la valeur singulière : théorie et applications

Explorer la théorie de la décomposition de la valeur singulaire, les propriétés, l'unicité, l'approximation matricielle et les applications de réduction de dimensionnalité.

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Réduction de Jordan

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