HomomorphismIn algebra, a homomorphism is a structure-preserving map between two algebraic structures of the same type (such as two groups, two rings, or two vector spaces). The word homomorphism comes from the Ancient Greek language: ὁμός () meaning "same" and μορφή () meaning "form" or "shape". However, the word was apparently introduced to mathematics due to a (mis)translation of German ähnlich meaning "similar" to ὁμός meaning "same". The term "homomorphism" appeared as early as 1892, when it was attributed to the German mathematician Felix Klein (1849–1925).
Morphisme de groupesUn morphisme de groupes ou homomorphisme de groupes est une application entre deux groupes qui respecte la structure de groupe. Plus précisément, c'est un morphisme de magmas d'un groupe dans un groupe , c'est-à-dire une application telle que et l'on en déduit alors que f(e) = e (où e et e désignent les neutres respectifs de G et G) et ∀x ∈ G f(x) = [f(x)]. donc ; en composant par l'inverse de , on obtient (autrement dit, un morphisme de groupes conserve l'idempotence, et l'élément neutre d'un groupe est son unique élément idempotent).
Module homomorphismIn algebra, a module homomorphism is a function between modules that preserves the module structures. Explicitly, if M and N are left modules over a ring R, then a function is called an R-module homomorphism or an R-linear map if for any x, y in M and r in R, In other words, f is a group homomorphism (for the underlying additive groups) that commutes with scalar multiplication. If M, N are right R-modules, then the second condition is replaced with The of the zero element under f is called the kernel of f.
Morphisme d'anneauxUn morphisme d'anneaux est une application entre deux anneaux (unitaires) A et B, compatible avec les lois de ces anneaux et qui envoie le neutre multiplicatif de A sur le neutre multiplicatif de B. Un morphisme d'anneaux est une application f entre deux anneaux (unitaires) A et B qui vérifie les trois propriétés suivantes : Pour tous a, b dans A : f(a + b) = f(a) + f(b) f(a ∙ b) = f(a) ∙ f(b) f(1A) = 1B.
Groupe abélienEn mathématiques, plus précisément en algèbre, un groupe abélien (du nom de Niels Abel), ou groupe commutatif, est un groupe dont la loi de composition interne est commutative. Vu autrement, un groupe commutatif peut aussi être défini comme un module sur l'anneau commutatif des entiers relatifs ; l'étude des groupes abéliens apparaît alors comme un cas particulier de la théorie des modules. On sait classifier de façon simple et explicite les groupes abéliens de type fini à isomorphisme près, et en particulier décrire les groupes abéliens finis.
Pédagogies activesLa pédagogie active a pour objectif de rendre l'élève acteur de ses apprentissages. Si la pédagogie active est traduite dans le monde scientifique par le terme d'Active learning, l'expression dans le monde francophone peut également désigner les méthodes actives portées par des pédagogues comme Célestin Freinet et Maria Montessori.
Groupe abélien de type finiEn mathématiques, un groupe abélien de type fini est un groupe abélien qui possède une partie génératrice finie. Autrement dit : c'est un module de type fini sur l'anneau Z des entiers relatifs. Par conséquent, les produits finis, les quotients, mais aussi les sous-groupes des groupes abéliens de type fini sont eux-mêmes de type fini. Un théorème de structure des groupes abéliens de type fini permet d'expliciter la liste complète de ces groupes à isomorphisme près ; il montre notamment que tout groupe abélien de type fini est un produit fini de groupes monogènes.
ÉpimorphismeEn mathématiques, le terme « épimorphisme » peut avoir deux sens. 1) En théorie des catégories, un épimorphisme (aussi appelé epi) est un morphisme f : X → Y qui est simplifiable à droite de la manière suivante: g1 o f = g2 o f implique g1 = g2 pour tout morphisme g1, g2 : Y → Z. Suivant ce diagramme, on peut voir les épimorphismes comme des analogues aux fonctions surjectives, bien que ce ne soit pas exactement la même chose. Le dual d'un épimorphisme est un monomorphisme (c'est-à-dire qu'un épimorphisme dans une catégorie C est un monomorphisme dans la catégorie duale Cop).
Algebra homomorphismIn mathematics, an algebra homomorphism is a homomorphism between two algebras. More precisely, if A and B are algebras over a field (or a ring) K, it is a function such that, for all k in K and x, y in A, one has The first two conditions say that F is a K-linear map, and the last condition says that F preserves the algebra multiplication. So, if the algebras are associative, F is a rng homomorphism, and, if the algebras are rings and F preserves the identity, it is a ring homomorphism.
Torsion-free abelian groupIn mathematics, specifically in abstract algebra, a torsion-free abelian group is an abelian group which has no non-trivial torsion elements; that is, a group in which the group operation is commutative and the identity element is the only element with finite order. While finitely generated abelian groups are completely classified, not much is known about infinitely generated abelian groups, even in the torsion-free countable case. Abelian group An abelian group is said to be torsion-free if no element other than the identity is of finite order.
Catégorie des groupes abéliensEn mathématiques, la catégorie des groupes abéliens est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées en algèbre dans l'étude des groupes abéliens. La catégorie des groupes abéliens est la catégorie Ab définie ainsi : Les objets sont les groupes abéliens ; Les morphismes entre objets sont les morphismes de groupes. C'est donc une sous-catégorie pleine de la catégorie Grp des groupes. La catégorie des groupes abéliens s'identifie à la catégorie des modules sur : La catégorie Ab est monoïdale, et permet donc de définir une structure enrichie.
Groupe abélien libreEn mathématiques, un groupe abélien libre est un groupe abélien qui possède une base, c'est-à-dire une partie B telle que tout élément du groupe s'écrive de façon unique comme combinaison linéaire à coefficients entiers (relatifs) d'éléments de B. Comme les espaces vectoriels, les groupes abéliens libres sont classifiés (à isomorphisme près) par leur rang, défini comme le cardinal d'une base, et tout sous-groupe d'un groupe abélien libre est lui-même abélien libre.
Experiential learningExperiential learning (ExL) is the process of learning through experience, and is more narrowly defined as "learning through reflection on doing". Hands-on learning can be a form of experiential learning, but does not necessarily involve students reflecting on their product. Experiential learning is distinct from rote or didactic learning, in which the learner plays a comparatively passive role. It is related to, but not synonymous with, other forms of active learning such as action learning, adventure learning, free-choice learning, cooperative learning, service-learning, and situated learning.
Apprentissage par cœurvignette|250px|Un tableau de Nikolaos Gysis de 1883, « apprendre par cœur ». L'apprentissage par cœur ou par cœur est une technique de mémorisation basée sur la répétition. L'idée est que plus l'individu répète une notion, plus il va rapidement être en mesure de rappeler celle-ci. Certaines des alternatives à l'apprentissage par cœur comprennent l'apprentissage par le sens, l'apprentissage associatif, et l'apprentissage actif.
Inquiry-based learningInquiry-based learning (also spelled as enquiry-based learning in British English) is a form of active learning that starts by posing questions, problems or scenarios. It contrasts with traditional education, which generally relies on the teacher presenting facts and their knowledge about the subject. Inquiry-based learning is often assisted by a facilitator rather than a lecturer. Inquirers will identify and research issues and questions to develop knowledge or solutions.
Suite exacteEn mathématiques, plus particulièrement en algèbre homologique, une suite exacte est une suite (finie ou infinie) d'objets et de morphismes entre ces objets telle que l' de l'un est égale au noyau du suivant. Dans le contexte de la théorie des groupes, on dit que la suite (finie ou infinie) de groupes et de morphismes de groupes est exacte si pour tout entier naturel n on a . Dans ce qui précède, sont des groupes et des morphismes de groupes avec . Dans la suite, 0 dénote le groupe trivial, qui est l'objet nul dans la catégorie des groupes.
Learning spaceLearning space or learning setting refers to a physical setting for a learning environment, a place in which teaching and learning occur. The term is commonly used as a more definitive alternative to "classroom," but it may also refer to an indoor or outdoor location, either actual or virtual. Learning spaces are highly diverse in use, configuration, location, and educational institution. They support a variety of pedagogies, including quiet study, passive or active learning, kinesthetic or physical learning, vocational learning, experiential learning, and others.
Groupe divisibleEn mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, un groupe abélien divisible est un groupe abélien G tel que, pour tout nombre naturel n ≥ 1, on ait (en notation additive) G = nG. Ceci revient à dire que pour tout élément x de G et tout nombre naturel n ≥ 1, il existe au moins un élément y de G tel que x = ny. On peut étendre cette définition aux groupes non abéliens, un groupe divisible étant un groupe dans lequel (en notation multiplicative) tout élément est n-ième puissance, quel que soit l'entier naturel n ≥ 1.
Elementary abelian groupIn mathematics, specifically in group theory, an elementary abelian group is an abelian group in which all elements other than the identity have the same order. This common order must be a prime number, and the elementary abelian groups in which the common order is p are a particular kind of p-group. A group for which p = 2 (that is, an elementary abelian 2-group) is sometimes called a Boolean group. Every elementary abelian p-group is a vector space over the prime field with p elements, and conversely every such vector space is an elementary abelian group.
Groupe profiniEn théorie des groupes, un groupe profini est un groupe topologique obtenu comme limite projective de groupes finis discrets. La notion de groupe profini est particulièrement utile en théorie de Galois, pour pouvoir travailler avec des extensions infinies. Comme plus généralement en théorie des catégories, cette limite projective est uniquement définie à unique isomorphisme près. Elle peut être interprétée comme objet final d'une bonne catégorie.
