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Vecteurs: Principes fondamentaux

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Description

Cette séance de cours couvre les concepts de base liés aux vecteurs, y compris leur définition comme flèches détachées de leur position, leur représentation dans le plan ou l'espace, des opérations telles que l'addition et la multiplication scalaire, et des propriétés comme la colinéarité et l'unicité. L'instructeur explique comment les vecteurs peuvent être combinés linéairement et démontre les applications des opérations vectorielles à travers des exemples et le théorème du Varignon.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre linéaire

Concepts associés (32)

Combinaison linéaire

En mathématiques, une combinaison linéaire est une expression construite à partir d'un ensemble de termes en multipliant chaque terme par une constante et en ajoutant le résultat. Par exemple, une combinaison linéaire de x et y serait une expression de la forme ax + by, où a et b sont des constantes. Le concept de combinaison linéaire est central en algèbre linéaire et dans des domaines connexes des mathématiques. La majeure partie de cet article traite des combinaisons linéaires dans le contexte d'espace vectoriel sur un corps commutatif, et indique quelques généralisations à la fin de l'article.

Théorème de Varignon

Il existe deux théorèmes démontrés par Pierre Varignon. D'autre part, si ABCD est plan et convexe, son aire est le double de celle de IJKL. En corollaire, les médianes d'un quadrilatère ont même milieu (étant les diagonales du parallélogramme). Le périmètre du parallélogramme de Varignon est égal à la somme des longueurs des diagonales du quadrilatère. vignette|upright=1.5|Cas d'un quadrilatère croisé. En reprenant les notations du dessin ci-dessus, et en adoptant les notations barycentriques, on a : donc (par associativité du barycentre) ce qui exprime que IJKL est un parallélogramme.

Sous-espace vectoriel engendré

Dans un espace vectoriel E, le sous-espace vectoriel engendré par une partie A de E est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A. C'est aussi l'ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs de A. Le sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs est le plus petit sous-espace contenant tous les vecteurs de cette famille. Une famille de vecteurs ou une partie est dite génératrice de E si le sous-espace qu'elle engendre est l'espace entier E.

Indépendance linéaire

En algèbre linéaire, étant donné une famille de vecteurs d'un même espace vectoriel, les vecteurs de la famille sont linéairement indépendants, ou forment une famille libre, si la seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui soit égale au vecteur nul est celle dont tous les coefficients sont nuls. Cela revient à dire qu'aucun des vecteurs de la famille n'est combinaison linéaire des autres. Dans le cas où des vecteurs ne sont pas linéairement indépendants, on dit qu'ils sont linéairement dépendants, ou qu'ils forment une famille liée.

Combinaison barycentrique

En géométrie vectorielle, une combinaison barycentrique ou combinaison affine de vecteurs est une combinaison linéaire dont la somme des coefficients est égale à 1. L’expression s’emploie par défaut pour une somme finie, mais parfois aussi pour la limite d’une série sous réserve de convergence. Les combinaisons barycentriques correspondent ainsi aux barycentres des vecteurs vus comme des points de l’espace affine associé, et l’ensemble de ces combinaisons barycentriques constitue le sous-espace affine engendré par ces points.

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Traductions et homothies

Couvre les traductions, les homothéties et les transformations géométriques à l'aide de vecteurs et de matrices.

Étude analytique de l'espace

Explore les repères, les coordonnées, les vecteurs, la coplanarité, les équations cartésiennes et les règles géométriques dans l'espace.

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Couvre les noyaux matriciels, les images, les applications linéaires, l'indépendance et les bases dans les espaces vectoriels.

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Théorème de Varignon

Sous-espace vectoriel engendré

Indépendance linéaire

Combinaison barycentrique

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