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Séance de cours

Réduction des matrices d'échelons: propriétés et unicité

Dans cours

MATH-110(a): Algèbre linéaire avancée I - espaces vectoriels

L'objectif du cours est d'introduire les notions de base de l'algèbre linéaire (pour les futurs mathématiciens) et de démontrer rigoureusement les résultats principaux de ce sujet. ...

Description

Cette séance de cours couvre les propriétés et l'unicité des matrices d'échelons réduits, y compris la définition d'une matrice d'échelons réduits, le théorème de Gauss indiquant que chaque matrice est équivalente à une matrice d'échelons réduits, et l'unicité de la forme d'échelons réduits. Il traite également du critère d'inversibilité par opérations élémentaires et de la génération de la matrice d'identité par équivalence de ligne.

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Enseignant·e·s (2)

Daniel Kressner

Philippe Michel

Ph. Michel's main research interest lie in the field of analytic number theory and range over a variety of techniques and methods which include: arithmetic geometry, exponential sums, sieve methods, automorphic forms and allied representations, L-functions and more recently ergodic theory. Ph. Michel is a former student of ENS Cachan and obtained his PhD in Universté Paris XI in 1995 under the guidance of E. Fouvry. From 1995 to 1998 he was maître de conférence at Universté Paris XI and full professor at Université Montpellier II until 2008 then when he joined EPFL. Ph. Michel was awarded the Peccot-Vimont prize, has been member of the Institut Universitaire de France and wa invited speaker at the 2006 International Congress of Mathematician.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre linéaire

Concepts associés (24)

Matrice inversible

En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice inversible (ou régulière ou encore non singulière) est une matrice carrée A pour laquelle il existe une matrice B de même taille n avec laquelle les produits AB et BA sont égaux à la matrice identité. Dans ce cas la matrice B est unique, appelée matrice inverse de A et notée B = A. Cette définition correspond à celle d’élément inversible pour la multiplication dans l’anneau des matrices carrées associé.

Matrices l-équivalentes

En algèbre linéaire, deux matrices sont l-équivalentes (ou ligne-équivalentes) si on peut passer de l'une à l'autre par des opérations élémentaires sur les lignes. Si A et B sont deux matrices, cette condition se réécrit comme : il existe une matrice inversible tel que . Deux matrices A et B de sont l-équivalentes s'il existe des matrices élémentaires telles que . Ceci revient à dire que l'on peut passer de l'une à l'autre par des opérations élémentaires sur les lignes.

Produit matriciel

Le produit matriciel désigne la multiplication de matrices, initialement appelé la « composition des tableaux ». Il s'agit de la façon la plus fréquente de multiplier des matrices entre elles. En algèbre linéaire, une matrice A de dimensions m lignes et n colonnes (matrice m×n) représente une application linéaire ƒ d'un espace de dimension n vers un espace de dimension m. Une matrice colonne V de n lignes est une matrice n×1, et représente un vecteur v d'un espace vectoriel de dimension n. Le produit A×V représente ƒ(v).

Matrice échelonnée

En algèbre linéaire, une matrice est dite échelonnée en lignes si le nombre de zéros précédant la première valeur non nulle d'une ligne augmente strictement ligne par ligne jusqu'à ce qu'il ne reste éventuellement plus que des zéros. Voici un exemple de matrice échelonnée (les désignent des coefficients quelconques, les des pivots, coefficients non nuls) : Une matrice échelonnée est dite matrice échelonnée réduite, ou matrice canonique en lignes, si les pivots valent 1 et si les autres coefficients dans les colonnes des pivots sont nuls.

Rang (algèbre linéaire)

En algèbre linéaire : le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Par exemple, pour une famille de vecteurs linéairement indépendants, son rang est le nombre de vecteurs ; le rang d'une application linéaire de dans est la dimension de son , qui est un sous-espace vectoriel de . Le théorème du rang relie la dimension de , la dimension du noyau de et le rang de ; le rang d'une matrice est le rang de l'application linéaire qu'elle représente, ou encore le rang de la famille de ses vecteurs colonnes ; le rang d'un système d'équations linéaires est le nombre d'équations que compte tout système échelonné équivalent.

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Explique les matrices de rangées et de rangées réduites et leur rôle dans la simplification de la résolution du système.

Critères d'inversion et calcul inverse MOOC: Algèbre Linéaire (Partie 1)

Examine le critère d'invertibilité des matrices et le calcul de l'inverse.

Matrice Rang de rangée et rang de colonne MOOC: Algèbre Linéaire (Partie 1)

Explore l'égalité des espaces de rangée pour les matrices de rangées équivalentes et la détermination des rangs de rangée.

Calcul de la matrice

Couvre la définition et les opérations de base des matrices, y compris l'addition, la multiplication scalaire et la multiplication matricielle.

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Concepts associés (24)

Matrice inversible

Matrices l-équivalentes

Produit matriciel

Matrice échelonnée

Rang (algèbre linéaire)

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