Analyse numériqueL’analyse numérique est une discipline à l'interface des mathématiques et de l'informatique. Elle s’intéresse tant aux fondements qu’à la mise en pratique des méthodes permettant de résoudre, par des calculs purement numériques, des problèmes d’analyse mathématique. Plus formellement, l’analyse numérique est l’étude des algorithmes permettant de résoudre numériquement par discrétisation les problèmes de mathématiques continues (distinguées des mathématiques discrètes).
Démonstration (logique et mathématiques)vignette| : un des plus vieux fragments des Éléments d'Euclide qui montre une démonstration mathématique. En mathématiques et en logique, une démonstration est un ensemble structuré d'étapes correctes de raisonnement. Dans une démonstration, chaque étape est soit un axiome (un fait acquis), soit l'application d'une règle qui permet d'affirmer qu'une proposition, la conclusion, est une conséquence logique d'une ou plusieurs autres propositions, les prémisses de la règle.
Théorie de la démonstrationLa théorie de la démonstration, aussi connue sous le nom de théorie de la preuve (de l'anglais proof theory), est une branche de la logique mathématique. Elle a été fondée par David Hilbert au début du . Hilbert a proposé cette nouvelle discipline mathématique lors de son célèbre exposé au congrès international des mathématiciens en 1900 avec pour objectif de démontrer la cohérence des mathématiques.
Proof (truth)A proof is sufficient evidence or a sufficient argument for the truth of a proposition. The concept applies in a variety of disciplines, with both the nature of the evidence or justification and the criteria for sufficiency being area-dependent. In the area of oral and written communication such as conversation, dialog, rhetoric, etc., a proof is a persuasive perlocutionary speech act, which demonstrates the truth of a proposition.
Proof by contradictionIn logic, proof by contradiction is a form of proof that establishes the truth or the validity of a proposition, by showing that assuming the proposition to be false leads to a contradiction. Although it is quite freely used in mathematical proofs, not every school of mathematical thought accepts this kind of nonconstructive proof as universally valid. More broadly, proof by contradiction is any form of argument that establishes a statement by arriving at a contradiction, even when the initial assumption is not the negation of the statement to be proved.
Proof calculusIn mathematical logic, a proof calculus or a proof system is built to prove statements. A proof system includes the components: Language: The set L of formulas admitted by the system, for example, propositional logic or first-order logic. Rules of inference: List of rules that can be employed to prove theorems from axioms and theorems. Axioms: Formulas in L assumed to be valid. All theorems are derived from axioms. Usually a given proof calculus encompasses more than a single particular formal system, since many proof calculi are under-determined and can be used for radically different logics.
Stabilité numériqueEn analyse numérique, une branche des mathématiques, la stabilité numérique est une propriété globale d’un algorithme numérique, une qualité nécessaire pour espérer obtenir des résultats ayant du sens. Une définition rigoureuse de la stabilité dépend du contexte. Elle se réfère à la propagation des erreurs au cours des étapes du calcul, à la capacité de l’algorithme de ne pas trop amplifier d’éventuels écarts, à la précision des résultats obtenus. Le concept de stabilité ne se limite pas aux erreurs d’arrondis et à leurs conséquences.
Démonstration constructiveUne première vision d'une démonstration constructive est celle d'une démonstration mathématique qui respecte les contraintes des mathématiques intuitionnistes, c'est-à-dire qui ne fait pas appel à l'infini, ni au principe du tiers exclu. Ainsi, démontrer l'impossibilité de l'inexistence d'un objet ne constitue pas une démonstration constructive de son existence : il faut pour cela en exhiber un et expliquer comment le construire. Si une démonstration est constructive, on doit pouvoir lui associer un algorithme.
Ordre lexicographiqueEn mathématiques, un ordre lexicographique est un ordre que l'on définit sur les suites finies d'éléments d'un ensemble ordonné (ou, de façon équivalente, les mots construits sur un ensemble ordonné). Sa définition est une généralisation de l'ordre du dictionnaire : l'ensemble ordonné est l'alphabet, les mots sont bien des suites finies de lettres de l'alphabet. La principale propriété de l'ordre lexicographique est de conserver la totalité de l'ordre initial.
Ordre totalEn mathématiques, on appelle relation d'ordre total sur un ensemble E toute relation d'ordre ≤ pour laquelle deux éléments de E sont toujours comparables, c'est-à-dire que On dit alors que E est totalement ordonné par ≤. Une relation binaire ≤ sur un ensemble E est un ordre total si (pour tous éléments x, y et z de E) : x ≤ x (réflexivité) ; si x ≤ y et y ≤ x, alors x = y (antisymétrie) ; si x ≤ y et y ≤ z, alors x ≤ z (transitivité) ; x ≤ y ou y ≤ x (totalité). Les trois premières propriétés sont celles faisant de ≤ une relation d'ordre.
Vitesse de convergence des suitesEn analyse numérique — une branche des mathématiques — on peut classer les suites convergentes en fonction de leur vitesse de convergence vers leur point limite. C'est une manière d'apprécier l'efficacité des algorithmes qui les génèrent. Les suites considérées ici sont convergentes sans être stationnaires (tous leurs termes sont même supposés différents du point limite). Si une suite est stationnaire, tous ses éléments sont égaux à partir d'un certain rang et il est alors normal de s'intéresser au nombre d'éléments différents du point limite.
Assistant de preuveEn informatique (ou en mathématiques assistées par informatique), un assistant de preuve est un logiciel permettant la vérification de preuves mathématiques, soit sur des théorèmes au sens usuel des mathématiques, soit sur des assertions relatives à l'exécution de programmes informatiques. Beaucoup de projets ont été lancés pour formaliser les mathématiques, en 1966, Nicolaas de Bruijn lance le projet Automath, suivi par d'autres projets.
