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Séance de cours

FPTAS pour Knapsack

Dans cours

MATH-504: Integer optimisation

The course aims to introduce the basic concepts and results of integer optimization with special emphasis on algorithmic problems on lattices that have proved to be important in theoretical computer science and cryptography during the past 30 years. ...

Description

Cette séance de cours couvre le Fullly Polynomial-Time Approximation Scheme (FPTAS) pour le problème Knapsack, présentant des algorithmes et des preuves pour obtenir une approximation de (1-ε) fois la solution optimale. L'instructeur explique l'approche dynamique de la programmation, la complexité du temps pseudo-polynôme et le processus de résolution efficace du problème Knapsack. Différents algorithmes d'approximation sont discutés, ainsi que leurs temps de fonctionnement et les preuves théoriques. La séance de cours se termine par l'analyse de la maximisation du profit et de la relation entre la solution obtenue et la solution optimale.

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Algorithme d'approximation

En informatique théorique, un algorithme d'approximation est une méthode permettant de calculer une solution approchée à un problème algorithmique d'optimisation. Plus précisément, c'est une heuristique garantissant à la qualité de la solution qui fournit un rapport inférieur (si l'on minimise) à une constante, par rapport à la qualité optimale d'une solution, pour toutes les instances possibles du problème.

Schéma d'approximation en temps polynomial

En informatique, un schéma d'approximation en temps polynomial (en anglais polynomial-time approximation scheme, abrégé en PTAS) est une famille d'algorithmes d'approximation pour des problèmes d'optimisation combinatoire. On dit aussi plus simplement schéma d'approximation polynomial. Le plus souvent, les problèmes d'optimisation combinatoire considérés sont NP-difficiles. Plusieurs variantes des PTAS existent : des définitions plus restrictives comme les EPTAS et FPTAS, ou d'autres qui reposent sur les algorithmes probabilistes comme les PRAS et FPRAS.

Problème du sac à dos

En algorithmique, le problème du sac à dos, parfois noté (KP) (de l'anglais Knapsack Problem) est un problème d'optimisation combinatoire. Ce problème classique en informatique et en mathématiques modélise une situation analogue au remplissage d'un sac à dos. Il consiste à trouver la combinaison d'éléments la plus précieuse à inclure dans un sac à dos, étant donné un ensemble d'éléments décrits par leurs poids et valeurs.

Schéma d'approximation en temps entièrement polynomial

Un schéma d'approximation en temps entièrement polynomial (FPTAS, pour ) est un algorithme permettant de trouver des solutions approximatives aux problèmes fonctionnels, en particulier aux problèmes d'optimisation. Un FPTAS prend en entrée une instance du problème et un paramètre ε > 0. Il renvoie en sortie une valeur d'au moins fois la valeur correcte, et au plus fois la valeur correcte. Dans le contexte des problèmes d'optimisation, ce qu'on appelle valeur correcte est la valeur de la solution optimale.

Maximisation du profit

En économie, la maximisation du profit est le processus par lequel une entreprise détermine le niveau des prix et de sortie qui génère le plus grand profit. Il existe plusieurs approches à ce problème. La méthode du coût total des recettes totales se fonde sur le fait que le profit est égal au coût des recettes en moins, et la méthode du coût marginal de recettes marginales est basée sur le fait que le profit total dans un marché parfaitement concurrentiel atteint son point maximum où le revenu marginal est égal au coût marginal.

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Problème de Knapsack: Optimisation et Voyageur Salesman

Explore le problème knapsack et le problème de vendeur itinérant avec un accent sur les algorithmes d'optimisation.

Systèmes complexes : phénomènes critiques

Explore les phénomènes critiques dans les systèmes complexes, y compris les objets stochastiques, la percolation et l'optimisation combinatoire.

P vs NP: Théorie de la complexité

S'insère dans la théorie de la complexité, en se concentrant sur le problème P vs NP et la classification des problèmes informatiques en fonction de l'efficacité.

Compression: Inégalité de Kraft

Explique la compression et l'inégalité Kraft dans les codes et les séquences.

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