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Méthode des éléments finis : formulation et applications faibles

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Dans cours

ME-372: Méthode des éléments finis

L'étudiant acquiert une initiation théorique à la méthode des éléments finis qui constitue la technique la plus courante pour la résolution de problèmes elliptiques en mécanique. Il apprend à appliquer cette méthode à des cas simples et à l'exploiter pour ...

Description

Cette séance de cours couvre les formulations intégrales et faibles du problème dans le contexte de la méthode des éléments finis (FEM). Il traite des équations d'équilibre, des conditions aux limites et de la méthode du galerkin pour les formulations approximatives faibles. L'instructeur explique l'application du FEM à des problèmes unidimensionnels, y compris le processus de discrétisation et la solution des systèmes linéaires. En outre, il explore l'utilisation de matrices de rigidité élémentaires et de vecteurs, ainsi que la condensation de matrices de rigidité. La séance de cours se termine par des exemples pratiques démontrant l'application de FEM pour résoudre des problèmes d'ingénierie impliquant des discontinuités et des conditions aux frontières variables.

Enseignant·e

François Gallaire

Né le 26 février 1975, François Gallaire obtient, en 1998, le diplôme dingénieur de lEcole Polytechnique à Paris et, en 1999, un master en « Physique des liquides » à lUniversité Pierre et Marie Curie, toujours à Paris. Il rejoint ensuite le Laboratoire dhydrodynamique (LadHyX) à lEcole polytechnique où il soutient, en 2003, une thèse sur le thème des instabilités des jets tournants et sur le contrôle de léclatement tourbillonnaire sous la direction de Jean-Marrc Chomaz. En 2003, il est nommé chargé de recherche au CNRS au Laboratoire J.A. Dieudonné de lUniversité de Nice Sophia-Antipolis.En 2009, il rejoint l'EPFL pour y fonder le laboratoire des mécanique des fluides et instabilités (LFMI). Ses recherches se concentrent sur létude des propriétés fondamentales de stabilité des écoulements de fluides et sont guidées par les applications réelles, en particulier le contrôle des écoulements. Récemment, il a réalisé dimportantes contributions dans les domaines de la micro-fluidique (lanalyse de la manipulation par laser dune goutte dans un micro-canal) et la dynamique des bio-fluides (le descriptif mécanique de lanévrisme de laorte abdominale).

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Mathématiques discrètes: Méthode des éléments finis

Concepts associés (31)

Condition aux limites mêlée

En mathématiques, une condition aux limites mêlée ou mixte correspond à la juxtaposition de différentes conditions aux limites sur différentes parties du bord (ou frontière) du domaine dans lequel est posée une équation aux dérivées partielles ou une équation différentielle ordinaire. Par exemple, si l'on considère les vibrations d'une corde élastique de longueur L se déplaçant à une vitesse c dont une extrémité (en 0) est fixe, et l'autre (en L) est attachée à un anneau oscillant librement le long d'une tige droite, on a alors une équation sur un intervalle [0,L].

Condition aux limites de Dirichlet

En mathématiques, une condition aux limites de Dirichlet (nommée d’après Johann Dirichlet) est imposée à une équation différentielle ou à une équation aux dérivées partielles lorsque l'on spécifie les valeurs que la solution doit vérifier sur les frontières/limites du domaine. Pour une équation différentielle, par exemple : la condition aux limites de Dirichlet sur l'intervalle s'exprime par : où et sont deux nombres donnés.

Problème aux limites

En analyse, un problème aux limites est constitué d'une équation différentielle (ou plus généralement aux dérivées partielles) dont on recherche une solution prenant de plus des valeurs imposées en des limites du domaine de résolution. Contrairement au problème analogue dit de Cauchy, où une ou plusieurs conditions en un même endroit sont imposées (typiquement la valeur de la solution et de ses dérivées successives en un point), auquel le théorème de Cauchy-Lipschitz apporte une réponse générale, les problèmes aux limites sont souvent des problèmes difficiles, et dont la résolution peut à chaque fois conduire à des considérations différentes.

Corps fini

En mathématiques et plus précisément en algèbre, un corps fini est un corps commutatif qui est par ailleurs fini. À isomorphisme près, un corps fini est entièrement déterminé par son cardinal, qui est toujours une puissance d'un nombre premier, ce nombre premier étant sa caractéristique. Pour tout nombre premier p et tout entier non nul n, il existe un corps de cardinal pn, qui se présente comme l'unique extension de degré n du corps premier Z/pZ.

Méthode d'Euler

En mathématiques, la méthode d'Euler, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Leonhard Euler (1707 — 1783), est une procédure numérique pour résoudre par approximation des équations différentielles du premier ordre avec une condition initiale. C'est la plus simple des méthodes de résolution numérique des équations différentielles. thumb|Illustration de la méthode d'Euler explicite : l'avancée se fait par approximation sur la tangente au point initial.

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Séances de cours associées (52)

Méthode des éléments finis : Error Estimation

Explore l'estimation des erreurs a priori dans la méthode des éléments finis, couvrant l'analyse de convergence, l'orthogonalité, les formulations faibles et la précision optimale.

Méthode des éléments finis : Approche locale

Explore l'approche locale de la méthode des éléments finis, couvrant les fonctions de forme nodale, les restrictions de solution, les tailles, les conditions aux limites et les opérations d'assemblage.

Analyse des éléments finis: Mécanismes avancés en ingénierie

Fournit un aperçu de l'analyse des mécanismes avancés utilisant la méthode des éléments finis et l'analyse des éléments finis dans les applications d'ingénierie.

Méthode des éléments finis : formulation et approximations

Couvre les formulations fortes et intégrales, la formulation faible et l'approximation des températures.

Géomécanique computationnelle : flux non confiné

Explore le flux non confiné dans la géomécanique computationnelle, mettant l'accent sur la dérivation de forme faible et la perméabilité relative.

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Condition aux limites mêlée

Condition aux limites de Dirichlet