Bel ordreEn mathématiques, plus précisément en théorie des ordres, un beau préordre est un préordre ≤ sur un ensemble X tel que pour toute suite (x) d'éléments de X, il existe i et j tels que i < j et x ≤ x, c'est-à-dire que toute suite infinie contient au moins une paire d'éléments qui sont en ordre croissant. Un bel ordre est un ordre partiel qui est beau en tant que préordre. Autrement dit, c'est un ordre partiel bien fondé sans antichaîne infinie.
Théorème de ZermeloEn mathématiques, le théorème de Zermelo, appelé aussi théorème du bon ordre, est un résultat de théorie des ensembles, démontré en 1904 par Ernst Zermelo, qui affirme : Le théorème de Zermelo, l'axiome du choix et le lemme de Zorn sont équivalents : Soient E un ensemble bien ordonné, et P(E) l'ensemble de ses parties. Alors, on définit une fonction de choix sur P(E){⌀} en associant, à chaque partie non vide de E, son plus petit élément (l'existence d'une telle fonction est un des énoncés possibles de l'axiome du choix).
Relation bien fondéeEn mathématiques, une relation bien fondée (encore appelée relation noethérienne ou relation artinienne) est une relation binaire vérifiant l'une des deux conditions suivantes, équivalentes d'après l'axiome du choix dépendant (une version faible de l'axiome du choix) : pour toute partie non vide X de E, il existe un élément x de X n'ayant aucun R-antécédent dans X (un R-antécédent de x dans X est un élément y de X vérifiant yRx) ; condition de chaîne descendante : il n'existe pas de suite infinie (xn) d'élém
Automorphisme de graphevignette|On peut définir deux automorphismes sur le graphe maison : l'identité et la permutation qui échange les deux « murs » de la « maison ». En mathématiques et en particulier en théorie des graphes, un automorphisme de graphe est une bijection de l'ensemble des sommets vers lui-même qui préserve l'ensemble des arêtes. On peut voir l'automorphisme de graphes comme un isomorphisme de graphes du graphe dans lui-même. On peut en général s'arranger pour mettre en évidence visuellement les automorphismes de graphes sous forme de symétries dans le tracé du graphe.
Groupe (mathématiques)vignette|Les manipulations possibles du Rubik's Cube forment un groupe. En mathématiques, un groupe est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l'ensemble, un élément symétrique. La structure de groupe est commune à de nombreux ensembles de nombres — par exemple les nombres entiers relatifs, munis de la loi d'addition.
Outer automorphism groupIn mathematics, the outer automorphism group of a group, G, is the quotient, Aut(G) / Inn(G), where Aut(G) is the automorphism group of G and Inn(G) is the subgroup consisting of inner automorphisms. The outer automorphism group is usually denoted Out(G). If Out(G) is trivial and G has a trivial center, then G is said to be complete. An automorphism of a group that is not inner is called an outer automorphism. The cosets of Inn(G) with respect to outer automorphisms are then the elements of Out(G); this is an instance of the fact that quotients of groups are not, in general, (isomorphic to) subgroups.
Théorie géométrique des groupesLa théorie géométrique des groupes est un domaine des mathématiques pour l'étude des groupes de type fini à travers les connexions entre les propriétés algébriques de ces groupes et les propriétés topologiques et géométriques des espaces sur lesquels ils opèrent. Les groupes sont vus comme des ensembles de symétries ou d'applications continues sur ces espaces. Une autre idée importante de la théorie géométrique des groupes est de considérer les groupes de type fini eux-mêmes comme des objets géométriques, généralement via le graphe de Cayley du groupe étudié.
Idempotent (ring theory)In ring theory, a branch of mathematics, an idempotent element or simply idempotent of a ring is an element a such that a2 = a. That is, the element is idempotent under the ring's multiplication. Inductively then, one can also conclude that a = a2 = a3 = a4 = ... = an for any positive integer n. For example, an idempotent element of a matrix ring is precisely an idempotent matrix. For general rings, elements idempotent under multiplication are involved in decompositions of modules, and connected to homological properties of the ring.
Groupe profiniEn théorie des groupes, un groupe profini est un groupe topologique obtenu comme limite projective de groupes finis discrets. La notion de groupe profini est particulièrement utile en théorie de Galois, pour pouvoir travailler avec des extensions infinies. Comme plus généralement en théorie des catégories, cette limite projective est uniquement définie à unique isomorphisme près. Elle peut être interprétée comme objet final d'une bonne catégorie.
Groupe libreEn théorie des groupes, le groupe libre sur un ensemble S est le groupe F contenant S et caractérisé par la propriété universelle suivante : pour tout groupe G et toute application f : S → G, il existe un unique morphisme de groupes de F dans G prolongeant f. Soit encore, un groupe G est dit libre sur un sous-ensemble S de G si chaque élément de G s'écrit de façon unique comme produit réduit d'éléments de S et d'inverses d'éléments de S (réduit signifiant : sans occurrence d'un sous-produit de la forme x.x).
Rank of an abelian groupIn mathematics, the rank, Prüfer rank, or torsion-free rank of an abelian group A is the cardinality of a maximal linearly independent subset. The rank of A determines the size of the largest free abelian group contained in A. If A is torsion-free then it embeds into a vector space over the rational numbers of dimension rank A. For finitely generated abelian groups, rank is a strong invariant and every such group is determined up to isomorphism by its rank and torsion subgroup.
Représentation de groupeEn mathématiques, une représentation de groupe décrit un groupe en le faisant agir sur un espace vectoriel de manière linéaire. Autrement dit, on essaie de voir le groupe comme un groupe de matrices, d'où le terme représentation. On peut ainsi, à partir des propriétés relativement bien connues du groupe des automorphismes de l'espace vectoriel, arriver à déduire quelques propriétés du groupe. C'est l'un des concepts importants de la théorie des représentations.
