Catégorie de modèlesEn mathématiques, plus précisément en théorie de l'homotopie, une catégorie de modèles est une catégorie dotée de trois classes de morphismes, appelés équivalences faibles, fibrations et cofibrations, satisfaisant à certains axiomes. Ceux-ci sont abstraits du comportement homotopique des espaces topologiques et des complexes de chaînes. La théorie des catégories de modèles est une sous-branche de la théorie des catégories et a été introduite par Daniel Quillen en 1967 pour généraliser l'étude de l'homotopie aux catégories et ainsi avoir de nouveaux outils pour travailler avec l'homotopie dans les espaces topologiques.
Homotopy categoryIn mathematics, the homotopy category is a built from the category of topological spaces which in a sense identifies two spaces that have the same shape. The phrase is in fact used for two different (but related) categories, as discussed below. More generally, instead of starting with the category of topological spaces, one may start with any and define its associated homotopy category, with a construction introduced by Quillen in 1967. In this way, homotopy theory can be applied to many other categories in geometry and algebra.
Catégorie homotopique des complexes de chaînesEn algèbre homologique, la catégorie homotopique K(A) des complexes de chaînes dans une catégorie additive A est un cadre pour travailler avec des complexes de chaînes et équivalences homotopiques. Elle est un intermédiaire entre la catégorie des complexes de chaînes Kom(A) de A et la catégorie dérivée D(A) de A lorsque A est abélien ; contrairement à la première, c'est une catégorie triangulée, et contrairement à la seconde, sa construction n'exige pas que A soit abélien.
Complexe différentielEn mathématiques, un complexe différentiel est un groupe abélien (voire un module), ou plus généralement un objet d'une catégorie abélienne, muni d'un endomorphisme de carré nul (appelé différentielle ou bord), c'est-à-dire dont l' est contenue dans le noyau. Cette condition permet de définir son homologie, qui constitue un invariant essentiel en topologie algébrique. Un complexe différentiel peut être gradué pour constituer un complexe de chaines ou de cochaines).
Homotopy colimit and limitIn mathematics, especially in algebraic topology, the homotopy limit and colimitpg 52 are variants of the notions of and colimit extended to the homotopy category . The main idea is this: if we have a diagramconsidered as an object in the , (where the homotopy equivalence of diagrams is considered pointwise), then the homotopy limit and colimits then correspond to the and coconewhich are objects in the homotopy category , where is the category with one object and one morphism.
Foncteur dérivéEn mathématiques, certains foncteurs peuvent être dérivés pour obtenir de nouveaux foncteurs liés de manière naturelle par des morphismes à ceux de départs. Cette notion abstraite permet d'unifier des constructions concrètes intervenant dans de nombreux domaines des mathématiques. Elle n'est pas liée à la notion de dérivation en analyse. La notion de foncteur dérivé est conçue pour donner un cadre général aux situations où une suite exacte courte donne naissance à une suite exacte longue.
Théorie de l'homotopieLa théorie de l'homotopie est une branche des mathématiques issue de la topologie algébrique dans laquelle les espaces et applications sont considérés à homotopie près. La notion topologique de déformation est étendue à des contextes algébriques notamment via les structures de complexe différentiel puis d’algèbre A. Étant donné deux équivalences d’homotopie f : X′ → X et g : Y → Y′, l’ensemble des classes d'homotopie des applications continues entre X et Y s’identifie à celui des applications entre X′ et Y′ par composition avec f et g.
A¹ homotopy theoryIn algebraic geometry and algebraic topology, branches of mathematics, A1 homotopy theory or motivic homotopy theory is a way to apply the techniques of algebraic topology, specifically homotopy, to algebraic varieties and, more generally, to schemes. The theory is due to Fabien Morel and Vladimir Voevodsky. The underlying idea is that it should be possible to develop a purely algebraic approach to homotopy theory by replacing the unit interval [0, 1], which is not an algebraic variety, with the affine line A1, which is.
Groupe d'homotopieEn mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie sont des invariants qui généralisent la notion de groupe fondamental aux dimensions supérieures. Il y a plusieurs définitions équivalentes possibles. Première définition Soit X un espace topologique et un point de X. Soit la boule unité de dimension i de l'espace euclidien . Son bord est la sphère unité de dimension . Le i-ième groupe d'homotopie supérieur est l'ensemble des classes d'homotopie relative à d'applications continues telle que : .
Quasi-catégorieEn mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, une quasi-catégorie est une généralisation de la notion de catégorie. L'étude de telles généralisations est connue sous le nom de théorie des catégories supérieures. Les quasi-catégories ont été introduites par et Vogt en 1973. André Joyal a fait beaucoup progresser l'étude des quasi-catégories en montrant qu’il existe un analogue pour les quasi-catégories de la plupart des notions de base de la théorie des catégories et même de certaines notions et théorèmes d’un niveau plus avancé.
Weak equivalence (homotopy theory)In mathematics, a weak equivalence is a notion from homotopy theory that in some sense identifies objects that have the same "shape". This notion is formalized in the axiomatic definition of a . A model category is a with classes of morphisms called weak equivalences, fibrations, and cofibrations, satisfying several axioms. The associated of a model category has the same objects, but the morphisms are changed in order to make the weak equivalences into isomorphisms.
HomotopieEn mathématiques, une homotopie est une déformation continue entre deux applications, notamment entre les chemins à extrémités fixées et en particulier les lacets. Cette notion topologique permet de définir des invariants algébriques utilisés pour classifier les applications continues entre espaces topologiques dans le cadre de la topologie algébrique. L’homotopie induit une relation d'équivalence sur les applications continues, compatible avec la composition, qui mène à la définition de l’équivalence d'homotopie entre espaces topologiques.
CofibrationEn mathématiques, une cofibration est une application qui satisfait la propriété d'extension des homotopies, ce qui est le cas pour les inclusions de CW-complexes. Le quotient de l'espace but par l'espace source est alors appelé cofibre de l'application. L'inclusion dans le cylindre d'application permet de remplacer une application continue entre deux espaces topologiques par une cofibration homotopiquement équivalente. La cofibre est alors appelée cofibre homotopique de l'application initiale.
Catégorie dérivéeLa catégorie dérivée d'une catégorie est une construction, originellement introduite par Jean-Louis Verdier dans sa thèse et reprise dans SGA 41⁄2, qui permet notamment de raffiner et simplifier la théorie des foncteurs dérivés. Elle a amené à plusieurs développements importants, ainsi que des reformulations élégantes par exemple de la théorie des D-modules et des preuves de la qui généralise le vingt-et-unième problème de Hilbert. En particulier, le langage des catégories dérivées permet de simplifier des problèmes exprimés en termes de suites spectrales.
Foncteur TorEn mathématiques, le foncteur Tor est le foncteur dérivé associé au foncteur produit tensoriel. Il trouve son origine en algèbre homologique, où il apparaît notamment dans l'étude des suites spectrales et dans la formulation du théorème de Künneth. Les foncteurs dérivés tentent de mesurer le défaut d'exactitude d'un foncteur. Soit R un anneau, considérons la catégorie RMod des R-modules et ModR des R-modules à droite.
Foncteur exactEn mathématiques, un foncteur exact est un foncteur qui commute aux limites inductives et projectives. De manière équivalente, c'est un foncteur qui préserve les suites exactes de catégories abéliennes et c'est de cela que vient la dénomination. Des foncteurs de ce type apparaissent naturellement en homologie et d'une manière générale en théorie des catégories, où leurs propriétés permettent des calculs élégants. Le « défaut d'exactitude » est mesuré par les foncteurs dérivés, par exemple les foncteurs Tor et Ext.
Foncteur ExtLes foncteurs Ext sont les foncteurs dérivés du foncteur Hom. Ils sont d'abord apparus en algèbre homologique, où ils jouent un rôle central par exemple dans le théorème des coefficients universels, mais interviennent aujourd'hui dans de nombreuses branches différentes des mathématiques. Ce foncteur apparaît originellement dans l'étude des extensions de modules, d'où il tire son nom. Soit A une catégorie abélienne. D'après le théorème de plongement de Mitchell, on peut toujours imaginer travailler avec une catégorie de modules.
Quasi-isomorphismeEn mathématiques, un quasi-isomorphisme est une application induisant un isomorphisme en homologie. Cette définition s'applique aux morphismes de complexes différentiels et notamment aux complexes de chaines ou de cochaines, mais aussi aux applications continues entre espaces topologiques via les différentes théories d'homologie. Toute équivalence d'homotopie est un quasi-isomorphisme mais la réciproque est fausse. En particulier, l'existence d'un quasi-isomorphisme entre deux espaces n'implique pas l'existence d'un quasi-isomorphisme réciproque.
Espace projectifEn mathématiques, un espace projectif est le résultat d'une construction fondamentale qui consiste à rendre homogène un espace vectoriel, autrement dit à raisonner indépendamment des proportionnalités pour ne plus considérer que des directions. Par exemple, l'espace projectif réel de dimension n, P(R),ou RPn, est l'ensemble des droites vectorielles ou des directions de R ; formellement, c'est le quotient de R{0} par la relation d'équivalence de colinéarité. On peut munir ces espaces projectifs de structures additionnelles pour en faire des variétés.
Variété projectiveEn géométrie algébrique, les variétés projectives forment une classe importante de variétés. Elles vérifient des propriétés de compacité et des propriétés de finitude. C'est l'objet central de la géométrie algébrique globale. Sur un corps algébriquement clos, les points d'une variété projective sont les points d'un ensemble algébrique projectif. On fixe un corps (commutatif) k. Algèbre homogène. Soit B le quotient de par un idéal homogène ( idéal engendré par des polynômes homogènes).
