Mediaspace scheduled maintenance: Aug 25, 2026 07:00 - 12:00 AM. During this time, videos will be temporarily unavailable. Check status updates.

Séance de cours

Fonctions exponentielles : Propriétés et logarithmes

Description

Cette séance de cours couvre les propriétés des fonctions exponentielles, y compris les limites à l'infini, les exponentielles de base et les logarithmes. Il explique comment la croissance exponentielle et la désintégration sont liées à la base de la fonction exponentielle, et comment les logarithmes peuvent être utilisés pour inverser les exponentielles. La séance de cours traite également des propriétés des fonctions logarithmiques, telles que leur comportement avec différentes bases et leur relation avec des fonctions exponentielles.

Source officielle

Concepts associés (24)

Exponentielle de base a

En analyse réelle, l'exponentielle de base est la fonction notée exp qui, à tout réel x, associe le réel a. Elle n'a de sens que pour un réel a strictement positif. Elle étend à l'ensemble des réels la fonction, définie sur l'ensemble des entiers naturels, qui à l'entier n associe a. C'est donc la version continue d'une suite géométrique. Elle s'exprime à l'aide des fonctions usuelles exponentielle et logarithme népérien sous la forme Elle peut être définie comme la seule fonction continue sur R, prenant la valeur a en 1 et transformant une somme en produit.

Logarithme naturel

Le logarithme naturel ou logarithme népérien, ou encore logarithme hyperbolique jusqu'au , transforme, comme les autres fonctions logarithmes, les produits en sommes. L'utilisation de telles fonctions permet de faciliter les calculs comprenant de nombreuses multiplications, divisions et élévations à des puissances rationnelles. Il est souvent noté ln(). Le logarithme naturel ou népérien est dit de base e car ln(e) = 1. Le logarithme népérien d'un nombre x peut également être défini comme la puissance à laquelle il faut élever e pour obtenir x.

Logarithme

vignette|Tracés des fonctions logarithmes en base 2, e et 10. En mathématiques, le logarithme (de logos : rapport et arithmos : nombre) de base d'un nombre réel strictement positif est la puissance à laquelle il faut élever la base pour obtenir ce nombre. Dans le cas le plus simple, le logarithme compte le nombre d'occurrences du même facteur dans une multiplication répétée : comme 1000 = 10×10×10 = 10, le logarithme en base 10 de 1000 est 3. Le logarithme de en base est noté : . John Napier a développé les logarithmes au début du .

Logarithme décimal

thumb|upright=2|Représentation graphique du logarithme décimal dans un repère orthogonal Le logarithme décimal ou log ou simplement log (parfois appelé logarithme vulgaire) est le logarithme de base dix. Il est défini pour tout réel strictement positif x. Le logarithme décimal est la fonction continue qui transforme un produit en somme et qui vaut 1 en 10. Le logarithme décimal est la fonction réciproque de la fonction : La norme ISO 80000-2 indique que log devrait être noté lg, mais cette notation est rarement utilisée.

Croissance exponentielle

thumb|Comparaison entre une croissance linéaire (en rouge), cubique (en bleu) et exponentielle (en vert) |300x300px La croissance exponentielle d'une quantité est son augmentation au fil du temps selon une loi exponentielle. On l'observe quand la dérivée par rapport au temps de cette quantité (c'est-à-dire son taux de variation instantané) est positive et proportionnelle à la quantité elle-même. Dans la langue courante on emploie souvent, mais improprement, le terme « croissance exponentielle » pour qualifier une augmentation simplement accélérée, quand la dérivée est elle-même croissante.

Afficher plus

Séances de cours associées (26)

Pouvoirs généralisés : dérivés et exponentiels

Couvre les propriétés des logarithmes, des dérivés, des exponentiels et des fonctions sinus-cosine.

Logarithme naturel : Définition et propriétés

Explore la définition, les propriétés et les limites de la fonction logarithmique naturelle.

Fonctions logarithmiques : Propriétés et applications MOOC: Fonctions Trigonométriques, Logarithmiques et Exponentielles

Explore les propriétés et les applications des fonctions logarithmiques naturelles, y compris l'invariance de la zone et la divergence des séries harmoniques.

Fonctions de puissance: Propriétés et dérivés

Couvre les propriétés des logarithmes, des fonctions de puissance et de leurs dérivés, avec des exemples illustrant des concepts clés.

Logarithme naturel: Graphique MOOC: Fonctions Trigonométriques, Logarithmiques et Exponentielles

Explore les propriétés et le graphique de la fonction logarithmique naturelle, en mettant l'accent sur sa bijectivité et le numéro 'e' de l'Euler.

Afficher plus

Concepts associés (24)

Exponentielle de base a

Logarithme naturel

Logarithme

Logarithme décimal

Croissance exponentielle

Afficher plus