Séance de cours

Matrices symétriques, Eigenvalues, Eigenvectors, Spectral Theorem

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Description

Cette séance de cours couvre les propriétés des matrices symétriques, en mettant l'accent sur les valeurs propres et les vecteurs propres. Il explique que pour une matrice symétrique, les eigenvectors orthogonaux correspondent à des valeurs propres distinctes. Le théorème spectral indique qu'une matrice symétrique est orthogonalement diagonale. En outre, il examine la factorisation des matrices symétriques et les implications pour les valeurs propres. La séance de cours se termine par des remarques sur l'orthogonalité et la diagonalizabilité des matrices symétriques, mettant l'accent sur les racines et les propriétés réelles des eigenspaces.

Dans MOOC

Algèbre Linéaire (Partie 3)

Vous voulez apprendre l'algèbre linéaire, un précieux outil complémentaire à vos connaissances acquises durant vos études en économie, ingénierie, physique, ou statistique? Ou simplement pour la beauté de la matière? Alors ce cours est fait pour vous! Outre remplir le rôle d'outil dans les différentes branches mentionnées ci-dessus (permettant la résolution de problèmes concrets), l'algèbre linéaire, qui capture l'essence des mathématiques -à savoir, l'algèbre et la géométrie- vous introduira au monde plus

Source officielle

Concepts associés (32)

Valeur propre, vecteur propre et espace propre

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique s'appellent vecteurs propres, réunis en un espace propre.

Generalized eigenvector

In linear algebra, a generalized eigenvector of an matrix is a vector which satisfies certain criteria which are more relaxed than those for an (ordinary) eigenvector. Let be an -dimensional vector space and let be the matrix representation of a linear map from to with respect to some ordered basis. There may not always exist a full set of linearly independent eigenvectors of that form a complete basis for . That is, the matrix may not be diagonalizable.

Matrice symétrique

vignette|Matrice 5x5 symétrique. Les coefficients égaux sont représentés par la même couleur. En algèbre linéaire et multilinéaire, une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa propre transposée, c'est-à-dire telle que a = a pour tous i et j compris entre 1 et n, où les a sont les coefficients de la matrice et n est son ordre. Les coefficients d'une matrice symétrique sont symétriques par rapport à la diagonale principale (du coin en haut à gauche jusqu'à celui en bas à droite).

Matrice antisymétrique

En mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire, une matrice antisymétrique est une matrice carrée opposée à sa transposée. Une matrice carrée A à coefficients dans un anneau quelconque est dite antisymétrique si sa transposée est égale à son opposée, c'est-à-dire si elle satisfait à l'équation : A = –A ou encore, en l'écrivant avec des coefficients sous la forme A = (ai,j), si : pour tout i et j, aj,i = –ai,j Les matrices suivantes sont antisymétriques : Le cas où la matrice est à coefficients dans un anneau de caractéristique 2 est très particulier.

Décomposition d'une matrice en éléments propres

En algèbre linéaire, la décomposition d'une matrice en éléments propres est la factorisation de la matrice en une forme canonique où les coefficients matriciels sont obtenus à partir des valeurs propres et des vecteurs propres. Un vecteur non nul v à N lignes est un vecteur propre d'une matrice carrée A à N lignes et N colonnes si et seulement si il existe un scalaire λ tel que : où λ est appelé valeur propre associée à v. Cette dernière équation est appelée « équation aux valeurs propres ».

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Séances de cours associées (45)

Récapitulation du théorème spectral

Revisite le théorème spectral pour les matrices symétriques, mettant l'accent sur les propriétés orthogonales diagonales et son équivalence avec les formes symétriques bilinéaires.

Propriétés spectrales des matrices non négatives

Couvre les propriétés spectrales des matrices non négatives et leur interprétation dans les diagrammes.

Diagonalisation des matrices symétriques

Explore la diagonalisation des matrices symétriques et l'importance de la décomposition des valeurs singulières.

Théorème principal des haches MOOC: Algèbre Linéaire (Partie 3)

Explique le théorème principal des axes pour les matrices symétriques et les formes quadratiques, montrant l'existence de matrices orthogonales pour diagonalisation.

Diagonalisation dans les matrices symétriques

Explore la diagonalisation dans les matrices symétriques, en mettant l'accent sur l'orthogonalité et les bases orthonormées.

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Concepts associés (32)

Valeur propre, vecteur propre et espace propre

Generalized eigenvector

Matrice symétrique

Matrice antisymétrique

Décomposition d'une matrice en éléments propres

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