Séance de cours

Torsion et divisibilité

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Description

Cette séance de cours couvre les concepts de torsion et de divisibilité dans les groupes abeliens, en distinguant d'importants sous-groupes qui aident à comprendre la structure du groupe. Il explique les définitions des éléments de torsion, des ordres et des sous-ensembles liés à la torsion. La séance de cours traite également de groupes p-divisibles, où chaque élément a un multiple dans le groupe, contrastant avec la notion de torsion. Il se termine par un aperçu des groupes p-abeliens.

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Concepts associés (32)

Groupe divisible

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, un groupe abélien divisible est un groupe abélien G tel que, pour tout nombre naturel n ≥ 1, on ait (en notation additive) G = nG. Ceci revient à dire que pour tout élément x de G et tout nombre naturel n ≥ 1, il existe au moins un élément y de G tel que x = ny. On peut étendre cette définition aux groupes non abéliens, un groupe divisible étant un groupe dans lequel (en notation multiplicative) tout élément est n-ième puissance, quel que soit l'entier naturel n ≥ 1.

Groupe abélien

En mathématiques, plus précisément en algèbre, un groupe abélien (du nom de Niels Abel), ou groupe commutatif, est un groupe dont la loi de composition interne est commutative. Vu autrement, un groupe commutatif peut aussi être défini comme un module sur l'anneau commutatif des entiers relatifs ; l'étude des groupes abéliens apparaît alors comme un cas particulier de la théorie des modules. On sait classifier de façon simple et explicite les groupes abéliens de type fini à isomorphisme près, et en particulier décrire les groupes abéliens finis.

Torsion-free abelian group

In mathematics, specifically in abstract algebra, a torsion-free abelian group is an abelian group which has no non-trivial torsion elements; that is, a group in which the group operation is commutative and the identity element is the only element with finite order. While finitely generated abelian groups are completely classified, not much is known about infinitely generated abelian groups, even in the torsion-free countable case. Abelian group An abelian group is said to be torsion-free if no element other than the identity is of finite order.

Torsion (algèbre)

En algèbre, dans un groupe, un élément est dit de torsion s'il est d'ordre fini, c'est-à-dire si l'une de ses puissances non nulle est l'élément neutre. La torsion d'un groupe est l'ensemble de ses éléments de torsion. Un groupe est dit sans torsion si sa torsion ne contient que le neutre, c'est-à-dire si tout élément différent du neutre est d'ordre infini. Si le groupe est abélien, sa torsion est un sous-groupe. Par exemple, le sous-groupe de torsion du groupe abélien est .

Torsion-free module

In algebra, a torsion-free module is a module over a ring such that zero is the only element annihilated by a regular element (non zero-divisor) of the ring. In other words, a module is torsion free if its torsion submodule is reduced to its zero element. In integral domains the regular elements of the ring are its nonzero elements, so in this case a torsion-free module is one such that zero is the only element annihilated by some non-zero element of the ring.

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Séances de cours associées (35)

Sous-groupes Sylow : Structure et propriétés

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Homomorphisme des groupes : Signature

Explore les homomorphismes des groupes, en se concentrant sur la signature sgn et le concept de cycles et de transpositions.

Présentations de groupe: Groupes abeliens

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Groupes Coxeter : Groupes électrogènes et relations

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Abélien p-groups : Groupes abéliens

Se concentre sur les groupes p abéliens, démontrant des résultats techniques pour classer les groupes abéliens finis.

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Torsion-free abelian group

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Torsion-free module

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