Théorème de Whitehead

En théorie de l'homotopie (une branche des mathématiques et plus précisément de la topologie algébrique), le théorème de Whitehead établit que si une application continue f entre deux espaces topologiques connexes X et Y induit un isomorphisme sur tous leurs groupes d'homotopie, alors f est une équivalence d'homotopie dès que X et Y ont le type d'homotopie de CW-complexes. Ce résultat a été démontré par J. H. C. Whitehead dans deux articles de référence de 1949 et justifie l'introduction de la notion de CW-complexes faite dans ces articles. Soient et deux espaces topologiques, de points de bases respectifs et , et une application continue telle que . On considère les morphismes induits pour n ≥ 0, où désigne le n groupe d'homotopie si n ≥ 1 et désigne l'ensemble des composantes connexes par arcs. ( est donc un morphisme de groupes si n ≥ 1, et un morphisme d'ensembles pointés si n = 0.) On dit que est une équivalence faible d'homotopie si tous les sont des isomorphismes. D'après le théorème d'Hurewicz, tout quasi-isomorphisme entre deux CW-complexes simplement connexes est une équivalence faible d'homotopie, ce qui explique que le théorème de Whitehead soit parfois énoncé sous la forme : Il ne suffit pas que les groupes d'homotopies de deux CW-complexes connexes X et Y soient isomorphes pour que X et Y soient homotopiquement équivalents : l'hypothèse que tous ces isomorphismes sont induits par une même application de X dans Y est indispensable. Par exemple, pour m et n distincts > 1, S × P(R) et P(R) × S ont mêmes groupes d'homotopie (les mêmes que S× S, sauf Z pour le groupe fondamental) mais pas même type d'homotopie, puisque leurs groupes d'homologie diffèrent (d'après le théorème de Künneth). De même pour P(C) × S et S × P(C). On peut construire d'autres exemples en remarquant qu'un espace connexe X n'a généralement pas le même type d'homotopie que le produit d'espaces d'Eilenberg-MacLane X' = K(πX, 1) × K(πX, 2) × ... : par exemple, pour X = S, H(X') ≠ 0.