Concept
On appelle pendule sphérique un dispositif formé d'une tige de masse nulle de longueur accrochée à un point fixe et à laquelle est fixée à l'autre extrémité une masse , habilité à se mouvoir en 3 dimensions, et placé dans un champ de pesanteur uniforme. En bref, c'est un pendule simple en 3D. Mais le problème peut aussi être considéré comme un cas particulier de mouvement d'un point matériel astreint à glisser sans frottement sur une surface, en l'occurrence la sphère de centre et de rayon . Remarquons que ce cas représente celui d'un pendule dont la tige pourrait s'allonger de sorte que reste dans un plan perpendiculaire à l'axe (ceci alors pour des oscillations quelconques). Pour des variations infinitésimales et , on a deux écarts perpendiculaires et . Les deux composantes perpendiculaires de la vitesse sont donc et et l'énergie cinétique vaut . L'énergie potentielle valant , la fonction de Lagrange s'écrit : Le lagrangien, a priori fonction de ne dépend ici explicitement ni de ni de . On a , et ce qui conduit aux deux équations de Lagrange : et On retrouve bien les équations (4) et (5). Une trajectoire possible est celle d'un parallèle : on parle alors de pendule conique, dont la théorie a été faite par Huygens. En écrivant dans l'équation (4) que l'angle , appelé angle de nutation, est constant, on obtient la vitesse de rotation autour de l'axe, appelée vitesse de précession : , qui est donc constante. On constate que ne peut dépasser 90° ; la période du mouvement est . Au voisinage de ce mouvement, il existe des mouvements avec une petite nutation. Il est intégrable à une quadrature près, puisque la surface a pour axe de révolution la verticale. L'équation (5) s'intègre en (6) ; la vitesse de rotation autour de l'axe est donc minimale à l'équateur et augmente en se rapprochant des pôles. L'équation (4) s'intègre alors en (7) ; redonnant bien le cas du pendule plan. En posant , (7) devient : (8) . Voir des vues de différentes trajectoires sur le site : courbe du pendule sphérique.