Appartenance (mathématiques)

vignette|Le symbole de l'appartenance. En mathématique ensembliste, l’ est une relation entre un élément et un ensemble, et également par abus de notations une relation entre un objet et une classe. On écrit pour signifier que l'élément appartient à l'ensemble , ou que l'objet appartient à la classe . L'axiome d'extensionnalité donne un rôle important à la relation d'appartenance, car elle permet de caractériser un ensemble par les éléments qui lui appartiennent. L'axiome de fondation énonce que la relation d'appartenance est bien fondée, ce qui interdit notamment qu'un ensemble puisse être élément de lui-même. L'appartenance n'est ni symétrique, ni transitive, ni réflexive. vignette|Première utilisation de ε par Giuseppe Peano. Le symbole a été introduit par Giuseppe Peano en 1889 dans (page X) : Il s'agit d'un epsilon, première lettre de la troisième personne du singulier ἐστί du verbe « être » en grec ancien. Sa graphie correspond à celle répandue en Europe continentale à l'époque de Peano. Cependant Peano utilisera aussi le symbole ε. La relation se lisait ainsi à l'origine « est un ». Cette formulation subsiste aujourd'hui dans une certaine mesure, par exemple lorsque l'on traduit par « est un entier naturel ». Dans le cas général se lit de nos jours « appartient à », « est un élément de », ou « est dans ». La relation réciproque , moins utilisée, se lit « contient », « comprend », ou « possède ». Le terme contient présente le désavantage d'être ambigu, pouvant également désigner l'inclusion. Utiliser possède, comme le recommande Gérard Debreu en soulignant que possède est le symétrique naturel de appartient, élude ce problème. D'autres auteurs, tels que Paul Halmos ou George Boolos, recommandent plutôt d'utiliser systématiquement « contient » pour traduire , et « inclut » pour . Enfin, la plupart des auteurs, dont par exemple Nicolas Bourbaki, n'utilisent tout simplement pas cette relation réciproque, tournant systématiquement leurs phrases de façon à pouvoir utiliser « appartient à » ou « est un élément de ».