Distance de Wasserstein

En mathématiques et plus particulièrement en théorie des probabilités et en statistique, la 'distance de Wasserstein (ou distance de Kantorovitch, ou distance de Kantorovitch – Rubinstein') est une distance définie entre des mesures de probabilité sur un espace polonais. La plupart des publications en français adoptent l'orthographe allemande Wasserstein pour ce nom russe d'origine allemande. Liée au problème du transport optimal, plus précisément au travail minimal à fournir pour modifier un tas de terre en un autre, la distance de Wasserstein est parfois appelée distance du cantonnier ou encore distance du terrassier, Earth Mover's Distance (EMD). Dans cette métaphore, chaque vecteur est vu comme un tas de terre et la distance reflète un travail : le poids de la terre déplacée multiplié par la distance parcourue. En informatique, cette distance est très utilisée pour la comparaison d'images, notamment dans la et dans la reconnaissance de formes. L'appellation de distance de Wasserstein est due à Roland Dobrouchine en 1970, sa définition ayant été trouvée dans des travaux datant de 1969 du mathématicien russe Léonid Wasserstein (ou Vaseršteĭn). Mais cette distance avait déjà été définie par Léonid Kantorovitch dans son célèbre rapport de 1939 intitulé Méthodes mathématiques pour l'organisation et la planification de la production (en russe : Математические методы организации и планирования производства). Ce rapport avait été présenté et discuté lors d'une réunion de la section de mathématiques et de mécaniques de l'université de Léningrad la même année. Les méthodes en question établissent un cadre formel pour la planification optimale du transport des marchandises et des matériaux. Certains chercheurs encouragent donc plutôt l'utilisation du terme de distance de Kantorovitch. De manière équivalente, la distance de Wasserstein peut se définir de la manière suivante : où l'infimum est pris sur l'ensemble des couples de variables aléatoires (X, Y) tels que la loi de X est μ et la loi de Y est ν.