Application contractante

En mathématiques et plus particulièrement en analyse, une application contractante, ou contraction, est une application qui « rapproche les » ou, plus précisément, une application k-lipschitzienne avec k < 1. Le théorème de point fixe le plus simple et le plus utilisé concerne les applications contractantes. Une application f d'un espace métrique (E, d) dans lui-même est dite k-contractante si 0 ≤ k < 1 et si, pour tout couple de points x et y de E, d(f(x), f(y)) ≤ kd(x, y). Elle est dite contractante si elle est k-contractante pour une certaine constante k. Un endomorphisme d'espace vectoriel normé dont la norme est strictement inférieure à 1 (ou une application affine associée à un tel endomorphisme) est une application contractante. L'exemple le plus simple est celui d'une homothétie de rapport λ avec |λ| < 1. Plus généralement, l'inégalité des accroissements finis permet de montrer qu'une fonction dérivable de dérivée bornée en norme par k < 1 est contractante ; c'est par exemple le cas sur R de l'application , avec k = 2/3. La preuve classique consiste essentiellement à montrer que pour toute suite vérifiant , on a . Ce théorème est souvent mentionné comme le théorème du point fixe de Banach — qui l'a énoncé en 1920 dans le cadre de la résolution d'équations intégrales — ou théorème du point fixe de Picard. Le corollaire suivant est utilisé dans certaines preuves du théorème de Cauchy-Lipschitz, ce qui dispense des précautions de la preuve usuelle, destinées à se placer dans une situation où l'application f est contractante. Remarque Comme dans le théorème, la convergence de la suite est au moins géométrique (de raison k si f est k-contractante). Ces résultats donnent un algorithme de calcul du point fixe (c'est la « méthode des approximations successives ») contrairement à d'autres théorèmes de point fixe qui nous assurent seulement de l'existence de points fixes sans indiquer comment les déterminer. De plus, l'énoncé donne un majorant de l'erreur. Remarquons que dans le théorème principal, si l'on note k la constante de Lipschitz de f , on a majoré k par k.