Construction à la règle et au compas

Euclide a fondé sa géométrie sur un système d'axiomes qui assure en particulier qu'il est toujours possible de tracer une droite passant par deux points donnés et qu'il est toujours possible de tracer un cercle de centre donné et passant par un point donné. La géométrie euclidienne est donc la géométrie des droites et des cercles, donc de la règle (non graduée) et du compas. L'intuition d'Euclide était que tout nombre pouvait être construit, ou « obtenu », à l'aide de ces deux instruments. Cette conjecture va d'une part remettre en question la définition d'un nombre : les nombres rationnels ne suffisent pas à exprimer toutes les longueurs puisque la diagonale d'un carré de côté 1 est constructible, mais correspond au nombre dont on démontre facilement qu'il ne saurait être le rapport de deux entiers et, d'autre part, engager la communauté mathématique dans la recherche de résolutions impossibles, comme la quadrature du cercle, la trisection de l'angle et la duplication du cube. La recherche des nombres constructibles et des polygones constructibles débouchera, après le développement de l'algèbre et de la théorie de Galois, sur le théorème de Gauss-Wantzel sur les polygones constructibles et sur le théorème de Wantzel pour les nombres constructibles. Georg Mohr (1672) puis Lorenzo Mascheroni (1797) prouveront que toute construction à la règle et au compas peut se réaliser au compas seul. thumb|Architectes médiévaux - Dictionnaire raisonné de l'architecture française (Viollet-le-Duc). Les liens qui unissent les constructions à la règle et au compas avec l'architecture sont très étroits : Au Moyen Âge, l’architecte, plutôt appelé « maître de l’œuvre », possède des connaissances élémentaires de géométrie : E. Viollet-le-Duc voyait dans l'abbaye de Cluny le principal foyer de la renaissance des arts libéraux issus du quadriviumouvrage|auteur=E. Viollet-le-Duc|titre=Dictionnaire raisonné de l'architecture française du |chap= Architecte|volume=1|lieu=Paris|éditeur=B. Bance, A. Morel|année=1854.