Surface cubique

En géométrie algébrique, une surface cubique est une variété algébrique surfacique. C'est donc une surface définie par un polynôme homogène de degré 3, dans l'espace projectif . On peut prendre par exemple égal à ou . Un résultat remarquable et non trivial de la géométrie algébrique est que dans le cas où la surface est non singulière (c'est-à-dire telle qu'en tout point de la surface au moins l'une des dérivées partielles du polynôme ne s'annule pas), on peut démontrer que si le corps de base est le corps des nombres complexes alors il y a exactement 27 droites sur cette surface cubique. C'est le théorème de Cayley-Salmon, établi en 1849 par Salmon après que Cayley eut démontré que de telles surfaces avaient toujours un nombre fini de droites. Bien sûr, dans le cas où le corps est celui des nombres réels, il peut ne pas y avoir 27 droites (car certaines des 27 droites auront des coordonnées complexes). On peut cependant montrer que le nombre de droites réelles est parmi les nombres suivants : 3, 7, 15 et 27. Et toutes ces possibilités sont réalisées. Dans les exemples suivants on peut déjà voir que les cas 3 ou 27 se produisent. On peut par exemple noter les coordonnées homogènes de l'espace projectif . thumb|Surface de Fermat, qui contient trois droites réelles Si on note qui est bien un polynôme homogène de degré 3 (c'est même l'un des plus simples auquel on peut penser, qui soit non trivial), alors la surface cubique associée (appelé surface de Fermat) sera définie par . Cette surface est non singulière comme on peut le vérifier facilement, et contient donc exactement 27 droites, ici le polynôme est suffisamment simple pour pouvoir les expliciter : Elles sont de la forme , où sont des racines cubiques de . Seulement dans il existe trois racines cubiques de -1, de plus au lieu de lier X et Y entre eux on peut relier X et Z ou X et T. Ainsi par un argument combinatoire on a bien les 27 droites de incluses dans la surface. Il faut bien sûr bien se souvenir qu'une droite dans est l'image d'un plan de par l'application .