Connexité simple

En topologie générale et en topologie algébrique, la notion de simple connexité raffine celle de connexe par arcs. Dans un espace connexe par arcs, deux points quelconques peuvent toujours être reliés par un chemin. Dans un espace simplement connexe, cela est toujours possible d'une et une seule façon, l'unicité étant à comprendre au sens de « à déformation (isotopie) près ». Intuitivement, là où un espace connexe est simplement « d'un seul tenant », un espace simplement connexe est de plus sans « trou » ni « poignée ». On formalise cela en disant que tout lacet tracé dans un espace simplement connexe doit pouvoir être réduit continûment (c'est-à-dire par homotopie) à un point. Si X est un espace topologique connexe par arcs, on dit qu'il est simplement connexe si tout lacet tracé sur X est homotope à un point. Intuitivement, on peut tirer sur le lacet pour le rétrécir jusqu'à ce qu'il ne forme plus qu'un point, il n'y a pas d'obstacle (c'est-à-dire de trou). On parle aussi de parties simplement connexes ; une partie d'un espace topologique est dite simplement connexe si, munie de la topologie induite, elle constitue un espace topologique simplement connexe. Formulations équivalentes : Un espace topologique connexe par arcs est simplement connexe si et seulement si pour tous x, y, deux chemins quelconques p, q : [0, 1] → X de x à y sont toujours homotopes. Un espace topologique connexe par arcs est simplement connexe si et seulement si son groupe fondamental est trivial, c'est-à-dire réduit à l'élément neutre. Sont simplement connexes : tout espace contractile, par exemple toute partie non vide convexe (ou même seulement étoilée) d'un espace vectoriel normé sur R ; plus généralement, tout espace homotopiquement équivalent à un espace simplement connexe ; la sphère S pour n ≥ 2 ; tout produit d'espaces simplement connexes, comme (R)* ≃ S × R* pour n ≥ 2 ; le groupe spécial unitaire SU(n) ; l'ensemble de Mandelbrot ; le cercle polonais (qui est connexe par arc mais non localement connexe).