En mathématiques, un anneau simple est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. Un anneau est dit simple s'il est non nul et n'admet pas d'autres idéaux bilatères que {0} et lui-même. Un anneau commutatif est simple si et seulement si c'est un corps commutatif. Plus généralement, un corps (non nécessairement commutatif) est un anneau simple, et l'anneau des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans un corps est simple. Parmi les anneaux simples, ceux qui sont artiniens sont, à un isomorphisme près, les anneaux des matrices carrées d'ordre fixé (quelconque) à coefficients dans un corps (quelconque). Une algèbre associative (unitaire) sur un corps commutatif est dite simple si son anneau sous-jacent est simple. Soit D un corps (commutatif ou non). Pour tout entier naturel non nul n, l'anneau Mn(D) des matrices carrées à coefficients dans D est un anneau simple artinien. Plus intrinsèquement, pour tout espace vectoriel E de dimension finie non nulle sur D, l'anneau EndD(E) des endomorphismes de E est un anneau simple artinien. La réciproque est vraie : Théorème de Wedderburn. Soit A un anneau. Il est équivalent de dire que : l'anneau A est simple et artinien ; l'anneau A est simple et semi-simple ; il existe un entier n > 0 et un corps D tel que A est isomorphe à l'anneau Mn(D) des matrices carrées à coefficients dans D ; A est isomorphe à l'anneau des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie non nulle sur un corps. Soient D et D' des corps, n et n' des entiers > 1. Pour que les anneaux Mn(D) et Mn' (D' ) soient isomorphes, il faut et il suffit que n = n' et que les corps D et D' soient isomorphes. Soit E et E' des espaces vectoriels de dimensions finies non nulles sur D et D' . Pour que les anneaux EndD(E) et EndD' (E' ) soient isomorphes, il faut et il suffit que les corps D et D' soient isomorphes et que les dimensions de E et E' soient égales. Donc, les anneaux simples artiniens axiomatisent les anneaux des matrices à coefficients dans des corps, et les anneaux des endomorphismes d'espaces vectoriels de dimension finie.