Structure (logique mathématique)

En logique mathématique, plus précisément en théorie des modèles, une structure est un ensemble muni de fonctions et de relations définies sur cet ensemble. Les structures usuelles de l'algèbre sont des structures en ce sens. On utilise également le mot modèle comme synonyme de structure (voir Note sur l'utilisation du mot modèle). La sémantique de la logique du premier ordre se définit dans une structure. Formellement, une structure peut être définie comme un triplet représentant respectivement un ensemble non vide A appelé domaine, une signature σ, et une interprétation I qui indique comment la signature doit être interprétée sur le domaine. On nomme σ-structure une structure de signature σ. L'ensemble A est le domaine ou ensemble de base de la structure . En théorie des modèles, l'ensemble de base d'une structure est toujours non vide (sinon, certaines lois de la logique du premier ordre ne seraient pas préservées). L'ensemble de base d'une structure est souvent noté (ou dans la suite ) ; il peut arriver qu'une structure et son ensemble de base soient notés de la même façon. Signature (algèbre) La signature d'une structure comporte un ensemble de symboles de fonctions et de symboles de relations avec une fonction qui associe à chaque symbole s un entier naturel qui est appelé l'arité de s, puisqu'il est l'arité de l'interprétation de s (voir ci-dessous : L'interprétation). La plupart du temps, l'égalité fait partie du langage par défaut, et n'apparaît pas dans la signature. L'interprétation de l'égalité est toujours l'identité, quelle que soit la structure. Les signatures en algèbre ne contiennent souvent que des symboles de fonctions. En algèbre universelle une signature ne contenant pas de symboles de relation est appelé une signature algébrique, et une structure ayant une telle signature est appelée algèbre. Linterprétation I de associe une ou des fonctions et relations aux symboles de la signature. À chaque symbole de fonction f d'arité n est associé une fonction d'arité n dont l'ensemble de départ est et l'ensemble d'arrivée est .