Grand cardinal

En mathématiques, et plus précisément en théorie des ensembles, un grand cardinal est un nombre cardinal transfini satisfaisant une propriété qui le distingue des ensembles constructibles avec l'axiomatique usuelle (ZFC) tels que א, א, etc., et le rend nécessairement plus grand que tous ceux-ci. L'existence d'un grand cardinal est donc soumise à l'acceptation de nouveaux axiomes. Un axiome de grand cardinal est un axiome affirmant qu'il existe un cardinal (ou parfois une famille de cardinaux) ayant une propriété de grand cardinal donnée. Il n'y a pas vraiment de consensus sur une définition précise de ce qu'est une telle propriété, bien que presque tout le monde s'accorde à dire qu'une vaste mérite ce qualificatif, dont celles d'être un cardinal inaccessible et d'être un cardinal mesurable. Une condition nécessaire raisonnable pour qu'une propriété soit appelée une propriété de grand cardinal est que l'existence d'un cardinal ayant cette propriété ne soit pas connue pour être contradictoire avec les axiomes de ZFC, et qu'on ait cependant également prouvé que si ZFC est cohérente, il en est de même de « ZFC + il n'existe pas de tel cardinal ». L'affirmation de l'existence d'un tel cardinal peut donc être vue comme un renforcement (strict) de ZFC, et l'utilisation d'un tel axiome comme une mesure de ce qu'on doit ajouter à ZFC pour pouvoir démontrer tel ou tel résultat ; comme le dit Dana Scott, on peut les voir comme un moyen de préciser quantitativement la phrase « si on veut plus de résultats, il faut supposer davantage de choses ». Il semble généralement admis que les résultats démontrés en n'utilisant que ZFC n'ont pas à le préciser, tandis que les autres hypothèses (telles qu'un axiome de grand cardinal) doivent être explicitées ; que ceci soit une convention linguistique ou autre chose est un sujet de débats épistémologiques qui seront abordés plus loin.