Stabilité de Liapounov

En mathématiques et en automatique, la notion de stabilité de Liapounov (ou, plus correctement, de stabilité au sens de Liapounov) apparaît dans l'étude des systèmes dynamiques. De manière générale, la notion de stabilité joue également un rôle en mécanique, dans les modèles économiques, les algorithmes numériques, la mécanique quantique, la physique nucléaire Un exemple typique de système stable au sens de Liapounov est celui constitué d'une bille roulant sans frottement au fond d'une coupelle ayant la forme d'une demi-sphère creuse : après avoir été écartée de sa position d'équilibre (qui est le fond de la coupelle), la bille oscille autour de cette position, sans s'éloigner davantage : la composante tangentielle de la force de gravité ramène constamment la bille vers sa position d'équilibre. En présence d'un frottement visqueux (si l'on ajoute par exemple un peu d'huile au fond de la coupelle), les oscillations de la bille sont amorties et celle-ci revient à sa position d'équilibre au bout d'un certain temps (théoriquement infiniment long) : cet amortissement est dû à la dissipation d'énergie sous forme de chaleur. Le système est alors asymptotiquement stable. Si maintenant on retourne la coupelle, le sommet de celle-ci (ayant toujours la forme d'une demi-sphère) est encore une position d'équilibre pour la bille. Mais à présent, si l'on écarte la bille d'une quantité infinitésimale en absence de frottement, cette bille se met à rouler sur la paroi de la coupelle en tombant ; elle s'écarte sans retour de sa position d'équilibre, car la composante tangentielle de la force de gravité éloigne constamment la bille de sa position d'équilibre. Un tel système est dit instable. De manière moins imagée, si tout mouvement d'un système issu d'un voisinage suffisamment petit d'un point d'équilibre demeure au voisinage de ce point, alors est dit stable au sens de Liapounov (rigoureusement parlant, ce n'est pas un système dynamique qui peut être stable au sens de Liapounov mais un point d'équilibre de ce système ; certains systèmes peuvent avoir plusieurs points d'équilibre, les uns stables, les autres instables).