Aleph (nombre)

vignette|Aleph-zéro, le plus petit aleph En théorie des ensembles, les alephs sont les cardinaux des ensembles infinis bien ordonnés. En quelque sorte, le cardinal d'un ensemble représente sa « taille », indépendamment de toute structure que puisse avoir cet ensemble (celle d'ordre en particulier dans le cas présent). Ils sont nommés ainsi d'après la lettre aleph, notée א, première lettre de l'alphabet hébreu, qui est utilisée pour les représenter. En effet on montre que les alephs forment une classe propre elle-même « bien ordonnée », et il existe alors une et une seule « bijection » (une classe fonctionnelle bijective) croissante de la classe des ordinaux dans la classe des alephs. On utilise la notation א pour désigner l'image de α par cette « bijection ». En présence de l'axiome du choix, les alephs représentent les cardinaux de tous les ensembles infinis, en vertu du théorème de Zermelo qui dit qu'alors tout ensemble peut être bien ordonné. La définition même des alephs n'utilise cependant pas l'axiome du choix. Le plus petit aleph est le cardinal de l'ensemble N des entiers naturels, et on le note donc aleph-zéro א. Le suivant est noté aleph-un, א, puis א, et ainsi de suite. La notation a été introduite par Georg Cantor, qui est le premier à s'être intéressé à la relation d'équipotence entre ensembles infinis, c'est-à-dire au fait d'être en bijection. Il s'est rendu compte que deux ensembles infinis pouvaient ne pas être équipotents. Il a ensuite introduit la notion de nombre cardinal, un nombre qui caractérise une classe d'équivalence pour l'équipotence. Pour Cantor, qui utilise implicitement l'axiome du choix, ou plutôt plus directement que tout ensemble peut être bien ordonné, les alephs représentent tous les cardinaux infinis. Plus formellement, dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, on appelle ordinal initial un ordinal qui n'est équipotent à aucun ordinal strictement inférieur, et on appelle aussi cardinal un tel ordinal, en particulier en présence de l'axiome du choix.