Concept

Nombre transfini

vignette|Le mathématicien George Cantor (1918). Les nombres transfinis sont des nombres exposés et étudiés par le mathématicien Georg Cantor. Se fondant sur ses résultats, il a introduit une sorte de hiérarchie dans l'infini, en développant la théorie des ensembles. Un nombre entier naturel peut être utilisé pour décrire la taille d'un ensemble fini, ou pour désigner la position d'un élément dans une suite. Ces deux utilisations correspondent aux notions de cardinal et d'ordinal respectivement. Ces nombres ont des propriétés différentes selon que les ensembles auxquels ils s'appliquent sont finis ou infinis. Ces cardinaux et ordinaux sont dits transfinis dans le second cas. Leur existence est assurée par l'axiome de l'infini. Le premier nombre ordinal transfini est noté (oméga), dernière lettre de l'alphabet grec. Il correspond au cardinal de l'ensemble des nombres entiers naturels , ordonné « naturellement ». L'addition des ordinaux est associative mais pas commutative. On peut aussi définir une multiplication et une exponentiation, ce qui donne lieu à une arithmétique sur les nombres ordinaux transfinis. Dans ZFC, la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix, à tout ensemble correspond un cardinal, et les cardinaux sont deux à deux comparables ; dans ce cadre, le plus petit cardinal transfini est noté (Aleph zéro) ; c'est le cardinal de l'ensemble des nombres entiers naturels ; dans la définition de von Neumann, , c'est le même objet noté différemment en tant que cardinal. Il y a une arithmétique des cardinaux, qui est différente de celle des ordinaux. Le cardinal de l'ensemble des nombres réels est plus grand que : il n'y a pas possibilité de faire correspondre un à un les entiers et les réels. Nombre cardinal Nombre ordinal Aleph (nombre) Ensemble bien ordonné Récurrence transfinie P. Dehornoy, Cantor et les infinis, Gazette des Mathématiciens - , pages 28-46, juillet 2009. Article de Cantor sur les nombres transfinis (1895), en ligne et analyse sur BibNum. Catégorie:Nombre Catégorie:Nomb

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_transfini

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Aleph (nombre)

vignette|Aleph-zéro, le plus petit aleph En théorie des ensembles, les alephs sont les cardinaux des ensembles infinis bien ordonnés. En quelque sorte, le cardinal d'un ensemble représente sa « taille », indépendamment de toute structure que puisse avoir cet ensemble (celle d'ordre en particulier dans le cas présent). Ils sont nommés ainsi d'après la lettre aleph, notée א, première lettre de l'alphabet hébreu, qui est utilisée pour les représenter.

Nombre réel

En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang, mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels que la racine carrée de 2, π et e.

Infini

thumb|∞ : le symbole infini. Le mot « infini » (-e, -s) est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille. Il vient du latin infīnītus, dérivé de fīnītus « limité » (avec in-, préfixe négatif), issu lui-même du verbe fīnĭo, fīnīre (« délimiter », mais aussi : « préciser », « déterminer », et intransitivement « finir »), et du nom fīnis (souvent au pluriel, fīnes : « bornes, limites d'un champ », « frontières d'un pays ») ; il signifie donc, littéralement « qui est sans borne », mais aussi « indéterminé » et « indéfini ».

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Nicolas Macris received the PhD degree in theoretical physics from EPFL and then pursued his scientific activity at the mathematics department of Rutgers University (NJ, USA). He then joined the Faculty of Basic Science of EPFL, working in the field of quantum statistical mechanics and mathematical aspects of the quantum Hall effect. Since 2005 he is with the Communication Theories Laboratory and Information Processing group of the School of Communication and Computer Science and currently works at the interface of statistical mechanics, information theory and error correcting codes, inference and learning theory. He held long-term visiting appointments and collaborations with the University College and the Institute of Advanced studies in Dublin, the Ecole Normale Supérieure de Lyon, the Centre de Physique Theorique Luminy Marseille, Paris XI Orsay, the ETH Zürich and more recently Los Alamos National Lab. CV and publication list.

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Rüdiger L. Urbanke obtained his Dipl. Ing. degree from the Vienna University of Technology, Austria in 1990 and the M.Sc. and PhD degrees in Electrical Engineering from Washington University in St. Louis, MO, in 1992 and 1995, respectively. He held a position at the Mathematics of Communications Department at Bell Labs from 1995 till 1999 before becoming a faculty member at the School of Computer & Communication Sciences (I&C) of EPFL. He is a member of the Information Processing Group. He is principally interested in the analysis and design of iterative coding schemes, which allow reliable transmission close to theoretical limits at low complexities. Such schemes are part of most modern communications standards, including wireless transmission, optical communication and hard disk storage. More broadly, his research focuses on the analysis of graphical models and the application of methods from statistical physics to problems in communications. From 2000-2004 he was an Associate Editor of the IEEE Transactions on Information Theory and he is currently on the board of the series "Foundations and Trends in Communications and Information Theory." In 2017 he was President of the Information Theory Society. From 2009 till 2012 he was the head of the I&C doctoral school, in 2013 he served as Dean a. i. of I&C, and since 2016 he is the Associated Dean for teaching of I&C. He is a co-author of the book "Modern Coding Theory" published by Cambridge University Press. Awards: 2021 IEEE Information Theory Society Paper Award 2016 STOC Best Paper Award 2014 La Polysphere Teaching Award 2014 IEEE Hamming Medal 2013 IEEE Information Theory Society Paper Award 2011 MASCO Best Paper Award 2011 IEEE Koji Kobayashi Award 2009 La Polysphere Teaching Award 2002 IEEE Information Theory Society Paper Award Fulbright Scholarship My students have won the following awards: M. Mondelli, 2021 IEEE Information Theory Paper Award M. Mondelli, EPFL Doctorate Award 2018 M. Mondelli, Patrick Denantes Award, 2017 M. Mondelli, IEEE IT Society Student Paper Award at ISIT, 2015 M. Mondelli, Dan David Prize Scholarship, 2015 H. Hassani, Inaugural Thomas Cover Dissertation Award, 2014 S. Kudekar, 2013 & 2021 IEEE Information Theory Paper Award A. Karbasi, Patrick Denantes Award, 2013 V. Venkatesan, Best Paper Award at MASCOTS, 2011 A. Karbasi, Best Student Paper Award at ICASSP, 2011 (with R. Parhizkar) A. Karbasi, Best Student Paper Award at ACM SIGMETRICS, 2010 (with S. Oh) S. Korada, ABB Dissertation Award, 2010 S. Korada, IEEE IT Society Student Paper Award at ISIT, 2009 (with E. Sasoglu) S. Korada, IEEE IT Society Student Paper Award at ISIT, 2008

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Dominique Bonvin is Professor and Director of the Automatic Control Laboratory of EPFL. He received his Diploma in Chemical Engineering from ETH Zürich, and his Ph.D. degree from the University of California, Santa Barbara. He worked in the field of process control for the Sandoz Corporation in Basel and with the Systems Engineering Group of ETH Zürich. He joined the EPFL in 1989, where his current research interests include modeling, control and optimization of dynamic systems. He served as Director of the Automatic Control Laboratory for the periods 1993-97, 2003-2007 and again since 2012, Head of the Mechanical Engineering Department in 1995-97 and Dean of Bachelor and Master Studies at EPFL for the period 2004-2011.

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