Loi du χ non centrée

En théorie des probabilités et en statistique, la loi du non centrée est une généralisation la loi du χ. Si , sont k variables aléatoires indépendantes de loi normale de moyennes et écart-type respectifs et , alors est une variable aléatoire de loi du non centrée. Cette loi a deux parametres : un entier qui spécifie le nombre de degrés de liberté (c'est-à-dire le nombre de variables ), et un réel relatif à la moyenne des variables par la formule : On dira que X suit une loi du χ non centrée avec k degrés de liberté et de paramètre λ, on notera La densité de probabilité est donnée par : où est la fonction de Bessel modifiée de première espèce. Les premiers moments sont : où est le polynôme de Laguerre généralisé. Il est à remarquer que le deuxième moment est le même que le n-ième moment de la loi du χ2 non centrée où le paramètre est remplacé par . Si est une variable aléatoire de loi du χ2 non centrée, alors la variable aléatoire est une variable aléatoire de loi du χ non centrée. Si est de loi du χ, , alors est également de loi du χ non centrée : . En d'autres termes, la loi du χ est un cas particulier de la loi du χ non centrée avec le paramètre . La loi du χ non centrée à deux degrés de liberté est similaire à la loi de Rice avec . Si X suit une loi du χ non centrée avec un degré de liberté et le paramètre λ, alors σX suit une loi normale repliée avec paramètres σλ et σ pour toute valeur de σ.