Régression de Poisson

En statistique, la régression de Poisson est un modèle linéaire généralisé utilisé pour les données de comptage et les tableaux de contingence. Cette régression suppose que la variable réponse Y suit une loi de Poisson et que le logarithme de son espérance peut être modélisé par une combinaison linéaire de paramètre inconnus. Soit un vecteur de variables indépendantes, et la variable que l'on cherche à prédire. Réaliser une régression de Poisson revient à supposer que suit une loi de Poisson de paramètre , avec et les paramètres de la régression à estimer, et le produit scalaire standard de . On peut ré-écrire le modèle ci-dessus ou de manière plus compacte avec un correspondant au précédent avec un élément supplémentaire valant 1. De même, . L'objectif de la régression de Poisson est d'estimer . Une fois ce vecteur estimé, il est possible de prédire pour un nouveau avec Si l'on a accès à une collection de couples indépendants : , alors peut être estimé par maximum de vraisemblance. Comme indiqué plus haut, à partir d'un paramètre et d'un vecteur d'entrée , la variable de sortie suit une loi de Poisson de paramètre La fonction de masse de cette loi de Poisson est alors Supposons que l'on ait accès à une collection de couples indépendants : . Alors, pour un vecteur donné, la fonction de vraisemblance (c'est-à-dire la probabilité d'obtenir cet ensemble de données particulier) s'écrit L'estimateur du maximum de vraisemblance, comme son nom l'indique, renvoie la valeur de qui maximise la vraisemblance des données. Pour ce faire, puisqu'il est difficile d'optimiser une fonction écrite comme un produit dont tous les termes sont positifs, on minimise la négative log-vraisemblance On peut remarquer que le terme ne dépend pas de . Puisque l'on cherche à trouver le qui minimise cette négative log-vraisemblance, on peut la simplifier à une constante additive près. Par abus de langage, on identifie la véritable négative log-vraisemblance et la version à une constante additive près : Pour trouver le minimum de cette négative log-vraisemblance, on résout l'équation , qui n'a pas de solution explicite.