Notations infixée, préfixée, polonaise et postfixée

Les notations infixée (ou infixe), préfixée (ou préfixe) et postfixée (ou postfixe) sont des formes d'écritures d'expressions algébriques qui se distinguent par la position relative qu'y prennent les opérateurs et leurs opérandes. Un opérateur est écrit avant ses opérandes en notation préfixée, entre ses opérandes en notation infixée et après ses opérandes en notation postfixée. La notation infixée n'a de sens que pour les opérateurs prenant exactement deux opérandes. C'est la notation la plus courante des opérateurs binaires en mathématiques. Les notations préfixée et postfixée permettent de se passer de parenthèses, conduisant à une notation plus compacte. Mais se passer de parenthèse suppose que l'on connaît la signature (autrement dit l'arité de tous les opérateurs) et que cette arité est un attribut des opérateurs qui ne peut pas être modifiable. La signature sert à analyser les expressions lors de leur évaluation. La notation préfixée fut proposée en 1924 par le mathématicien polonais Jan Łukasiewicz, c'est pourquoi elle est également appelée notation de Łukasiewicz, ou notation polonaise. Par analogie, la notation postfixée est appelée notation polonaise inverse. Ces deux notations (préfixée et postfixée) permettent de se passer de parenthèses dans le cas d'opérateurs d'arité fixée et connue et s'accordent à une évaluation naturelle de l'expression. L'expression qui ajoute les nombres 1 et 2 s'écrit, en notation préfixée, + 1 2. Dans les expressions préfixées, les opérateurs précèdent toujours leurs opérandes qui peuvent être eux-mêmes des expressions non-triviales. Par exemple, l'expression qui serait écrite en notation infixée classique : (5 − 6) × 7 est écrite en notation préfixée : × (− 5 6) 7 On notera que comme on connait l'arité des opérateurs, les parenthèses sont inutiles et l'expression précédente peut être simplifiée en : × − 5 6 7 L'évaluation du produit × est activée quand ses deux opérandes ont été évaluées (à savoir, 5 − 6 et 7). Plus généralement l'évaluation d'un opérateur d'arité n est activée après que ses n opérandes ont été évaluées.