Nombre parfait

En arithmétique, un nombre parfait est un entier naturel égal à la moitié de la somme de ses diviseurs ou encore à la somme de ses diviseurs stricts. Plus formellement, un nombre parfait n est un entier tel que σ(n) = 2n où σ(n) est la somme des diviseurs positifs de n. Ainsi 6 est un nombre parfait car ses diviseurs entiers sont 1, 2, 3 et 6, et il vérifie bien 2 × 6 = 12 = 1 + 2 + 3 + 6, ou encore 6 = 1 + 2 + 3. Voir la . Dans le Livre IX de ses Éléments, Euclide, au , a démontré que si M = 2 − 1 est premier, alors M(M + 1)/2 = 2(2 – 1) est parfait. Par ailleurs, Leonhard Euler, au , a démontré que tout nombre parfait pair est de la forme proposée par Euclide. La recherche de nombres parfaits pairs est donc liée à celle des nombres de Mersenne premiers (nombres premiers de la forme M = 2 − 1, l'entier p étant alors nécessairement premier). La « perfection » d'un tel nombre s'écrit : Les quatre premiers nombres parfaits sont connus depuis l'Antiquité : 6 = 2(2 – 1) = (1 + 2) + 3 ; 28 = 2(2 – 1) = (1 + 2 + 4) + (7 + 14) ; 496 = 2(2 – 1) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) + (31 + 62 + 124 + 248) ; = 2(2 – 1) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64) + (127 + 254 + 508 + + + ). Depuis, le total est passé à 51 nombres parfaits (puisqu'on ne connaît que 51 nombres de Mersenne premiers, le dernier découvert en décembre 2018) sans même que l'on sache, à partir du , s'il n'y a pas des « trous » (des nombres parfaits intermédiaires non encore découverts). Les sept premiers nombres parfaits pairs sont donnés dans le tableau suivant : Tout nombre parfait pair se termine par un 6 ou un 8, mais pas forcément en alternance. En 2000, Douglas Iannucci a démontré que tous les nombres pairs parfaits sont des nombres de Kaprekar en base deux. Les nombres parfaits pairs étant de la forme 2(2 − 1), ce sont des nombres triangulaires (et même hexagonaux) et, en tant que tels, la somme des entiers naturels jusqu'à un certain rang (impair), en l'occurrence 2 − 1. De plus, tous les nombres parfaits pairs, excepté le premier, sont la somme des 2 premiers cubes impairs.