Publication

The Choreography of Geodesics in SOL

Marc Troyanov
2026

Résumé

We provide a self-contained geometric description of the geodesic flow in the threedimensional Lie group SOL, one of Thurston's eight model geometries. The geometry of geodesics is governed by a single invariant k ∈ [0, 1], its modulus. Generic geodesics spiral around an axis, with well-defined amplitude A(k), period T (k), and horizontal drift H(k). We characterize minimal geodesic segments and the cut locus, and obtain an asymptotic estimate showing that the distances between points at the same altitude grow logarithmically. This work builds on previous work by Grayson and Coiculescu-Schwartz, but develops an alternative geometric and dynamical viewpoint.

Source officielle

https://infoscience.epfl.ch/entities/publication/c72c5b91-1b0f-4200-b7f5-2dbfd5f177de

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Concepts associés (32)

Géodésique

En géométrie, une géodésique est la généralisation d'une ligne droite du plan ou de l'espace euclidien, au cadre des surfaces, ou plus généralement des variétés ou des espaces métriques. Elles sont étroitement liées à la notion de plus court chemin relativement à un calcul de distance sur un tel espace. Ainsi, le plus court chemin (ou les plus courts chemins, s'il en existe plusieurs), entre deux points est toujours une géodésique. Mais plus précisément, on appelle géodésique une courbe qui, à l'échelle locale, relie les points en minimisant la distance.

Géométrie projective

En mathématiques, la géométrie projective est le domaine de la géométrie qui modélise les notions intuitives de perspective et d'horizon. Elle étudie les propriétés inchangées des figures par projection centrale. Le mathématicien et architecte Girard Desargues fonde la géométrie projective dans son Brouillon project d’une Atteinte aux evenemens des rencontres du cone avec un plan publié en 1639, où il l'utilise pour une théorie unifiée des coniques.

Géométrie hyperbolique

En mathématiques, la géométrie hyperbolique (nommée auparavant géométrie de Lobatchevski, lequel est le premier à en avoir publié une étude approfondie) est une géométrie non euclidienne vérifiant les quatre premiers postulats d’Euclide, mais pour laquelle le cinquième postulat, qui équivaut à affirmer que par un point extérieur à une droite passe une et une seule droite qui lui est parallèle, est remplacé par le postulat selon lequel « par un point extérieur à une droite passent plusieurs droites parallèle

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