Espace de gyrovecteurs

Un espace de gyrovecteurs (ou espace gyrovectoriel) est un outil mathématique développé par Abraham A. Ungar au début des années 2000 pour l'étude de la géométrie hyperbolique, comme les espaces vectoriels sont utilisés en géométrie euclidienne ; l'« addition » des gyrovecteurs est basée sur la composition des célérités en relativité restreinte. Un magma (G, ) est un gyrogroupe si sa loi de composition satisfait les axiomes suivants : G contient au moins un élément 0 appelé élément neutre à gauche, vérifiant 0a = a pour tout a ∈ G. Pour tout a ∈ G , il existe un élément a de G, appelé un inverse à gauche de a, tel que aa = 0. Pour tout triplet a, b, c dans G, il existe un unique élément gyr[a, b]c de G tel que a(bc) = (ab)gyr[a, b]c (loi gyrassociative à gauche) L'application gyr[a, b]:G → G donnée par c → gyr[a, b]c est un automorphisme du magma (G, ). L'automorphisme gyr[a, b] est appelé le gyroautomorphisme de G engendré par a et b. L'opération gyr:G × G → Aut(G, ) est appelée le gyrateur de G. Le gyroautomorphisme gyr[a, b] a la propriété de boucle à gauche gyr[a, b] = gyr[ab, b]. Un gyrogroupe possédant des inverses et un élément neutre, c'est un quasigroupe et une boucle. Les gyrogroupes généralisent les groupes ; en particulier, tout groupe est un gyrogroupe pour lequel l'image du gyrateur est l'automorphisme identité. Un exemple de gyrogroupe fini non trivial est donné dans l'article de Abraham Ungar sur l'application à la relativité restreinte. Les identités suivantes sont valides dans tout gyrogroupe (G,): (gyration) (associativité à gauche) (associativité à droite) On a de plus la loi d'inversion suivante (motivant la définiton de la gyrocommutativité donnée ci-dessous) : (loi d'inversion) De nombreuses autres identités existent, parmi lesquelles : (gyrations et élément neutre) (loi d'inversion des gyroautomorphismes) (symétrie) (propriété de boucle à droite) (propriété de boucle à gauche) Un gyrogroupe (G,) est gyrocommutatif si on a la relation a b = gyr[a, b](b a).