Loi d'Erlang

La distribution d'Erlang est une loi de probabilité continue, dont l'intérêt est dû à sa relation avec les distributions exponentielle et Gamma. Cette distribution a été développée par Agner Krarup Erlang afin de modéliser le nombre d'appels téléphoniques simultanés. La distribution est continue et possède deux paramètres : le paramètre de forme , un entier, et le paramètre d'intensité , un réel. On utilise parfois une paramétrisation alternative, où on considère plutôt le paramètre d'échelle . Lorsque le paramètre de forme vaut 1, la distribution se simplifie en la loi exponentielle. La distribution d'Erlang est un cas spécial de la loi Gamma, où le paramètre de forme est un entier. Dans la loi Gamma, ce paramètre est réel positif supérieur ou égal à 1. La densité de probabilité de la distribution d'Erlang est Le paramètre est le paramètre de forme, et le paramètre d'intensité. Une paramétrisation équivalente met en jeu le paramètre d'échelle , défini comme l'inverse de l'intensité (c'est-à-dire ) : La présence de la factorielle implique que k doit être un entier naturel supérieur ou égal à 1. Mais la loi Gamma généralise la distribution d'Erlang où ce paramètre k est un réel quelconque positif supérieur ou égale à 1. L'expression de la fonction de densité de probabilité est obtenue en remplaçant par , qui la valeur prise par la fonction gamma en k. La fonction de répartition de la distribution d'Erlang est où est la fonction gamma incomplète. Cette fonction peut aussi s'écrire : La distribution d'Erlang est la distribution de la somme de k variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon une loi exponentielle de paramètre . Si chacune de ces variables aléatoires représente le temps au bout duquel un événement donné se produit (par exemple, une intervention à la suite d'une panne sur un appareil sans usure et sans mémoire), alors la variable aléatoire au bout duquel le k-ème événement a lieu suit une loi d'Erlang de forme k et de paramètre .